填空题

设Ω是由曲线
绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=2，z=8所围的立体，则
=______．

答案： 336π

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答案： π

答案： [分析]

交换积分的次序：

答案： [分析] 由于I对应的二重积分的积分域D是由两条曲线y=，y=及直线x=2a所同，画出区域D的图形如右图所示，由图可以看...

交换积分次序：

答案： [分析]
而二重积分的积分域D₁：其图形如右图所示．

交换积分次序得

所以

答案： e-1
[分析]

答案： [分析] 根据二重积分的对称性可得

设x=rcosθ，y=rsinθ，把下述直角坐标系中累次积分之和化为极坐标系(r，θ)中的累次积分，则

答案： [分析] 累次积分对应的二重积分积分域为D=D₁+D₂，其中

已知D是由y=1-x²，x-y+1=0，x+y-1=0所围成的平面区域，则

答案： 0

设常数a＞0，
，D是全平面，则
的值为______．

答案： 4a²

已知区域D=(x，y)|x²+y²≤1，则

答案： [分析] 利用对称性．

设Ω为
，则三重积分
化为球坐标系下的三次积分为______．

答案： [分析] 由可确定，0≤r≤1，由可确定，所以

设D是xOy平面内的均匀薄片，其面积为A，又已知
，从而该板的重心坐标为______．

答案： [分析] 因
所以重心坐标为

设Ω是由曲线
绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=2，z=8所围的立体，则
=______．

答案： 336π

已知
为某函数的全微分，则k=______．

答案： A

设L为圆周
则
=______．

答案： 2πa²ⁿ⁺¹

设曲面∑为x²+y²+z²=4，则对坐标的曲面积分∫∫x^2dxdy==______．

答案： 0

设L是椭圆
，其周长为a，则
=______．

答案： 36a

设L为曲线|x|+|y|=1，则
=______．

答案： [分析] 由轮换对称性可知曲线积分，所以

设L为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
=______．

答案： -2

若L为|x|+|y|=1，方向逆时针，则
=______．

答案： 0

设曲面∑为平面x-y-z+1=0在第二卦限取上侧，
=______．

答案： B

设n是曲面
在点P(1，0，-1)处指向外侧的单位法向量，则u=ln(x²+y²+z²)在P点处沿n方向的方向导数为，并且div(gradu)=．

答案： [分析] 设，因为

所以
又因为
所以

向量v=x，y，z穿过圆锥体z²≥x²+y²(0≤z≤h)的整个表面的流量为______．

答案： πh³