求方程的通解．_考试资料网

问答题

已知y=y(x)是微分方程(x ² +y ² )dy=dx-dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x ₀ ，记y ₀ =y(x ₀ )．证明：

答案：【证】将微分方程(x²+y²)dy=dx-dy变形为
于是

问答题

设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程y"+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

答案：【证】原方程的通解为

设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即|f(x)|≤M，则当x...

问答题

求解

答案：【解】方程化为

此为齐次方程，故令
则x=uy，
代入上述方程得<...

问答题

已知y=y(x)是微分方程(x ² +y ² )dy=dx-dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x ₀ ，记y ₀ =y(x ₀ )．证明：
均存在．

答案：【证】y(x)有上界，所以
存在．
同理可证，当x≤x₀时，y(x)有下界，所...

问答题

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Φ"(x)=φ(x)，Φ(0)=0．求方程y"+ysinx=φ(x)e ^cosx 的通解；

答案：【解】该方程为一阶线性微分方程，通解为

问答题

已知曲线y=y(x)经过点(1，e ^-1 )，且在点(x，y)处的切线方程在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．

答案：【解】曲线y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为Y-y=y"(X-x)，令X=0，得到截距为
xy=y-xy...

问答题

设有方程y"+P(x)y=x ² ，其中
试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

答案：【解】本题虽是基础题，但其特色在于当x的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一...

问答题

求微分方程xy"+y=xe ^x 满足y(1)=1的特解．

答案：【解】方法一对应的齐次方程xy"+y=0的通解是

设其中C为x的函数，则
代入原方程，...

问答题

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Φ"(x)=φ(x)，Φ(0)=0．方程是否有以2π为周期的解若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

答案：【解】因为Φ"(x)=φ(x)，所以
又Φ(0)=0，于是，
而
所以，当
时，...

问答题

设
用变限积分表示满足上述初值条件的解y(x)；

答案：【解】初值问题可写成

由上述变限积分形式的通解公式，有：

问答题

设
讨论
是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．

答案：【解】由
于是

若
则

若
则

问答题

求微分方程(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0的通解．

答案：【解】方程化为
设x=X+h，y=Y+k，代入方程，并令

解得h=3，k=-...

问答题

求微分方程
的通解．

答案：【解】此为齐次方程，只要作代换
解之即可．方程变形为

令
两边积分，得

问答题

求微分方程
的通解．

答案：【解】变形和作适当代换后变为可分离变量的方程．
方程两边同除以x，得

当x＞0时，

问答题

求微分方程y"-2y"-e ^2x =0满足条件y(0)=1，y"(0)=1的特解．

答案：【解】齐次方程y"-2y"=0的特征方程为λ²-2λ=0，由此求得特征根λ₁...

问答题

求微分方程y"+2y"+y=xe ^x 的通解．

答案：【解】特征方程r²+2r+1=0的两个根为r₁=r₂=...

问答题

求微分方程y"+4y"+4y=e ^-2x 的通解．

答案：【解】特征方程r²+4r+4=0的根为r₁=r₂=-2...

问答题

求微分方程y"+2y"-3y=e ^-3x 的通解．

答案：【解】对应的齐次方程的通解为

原方程的一个特解为y^*=Axe

问答题

求微分方程y"+5y"+6y=2e ^-x 的通解．

答案：【解】所给微分方程的特征方程为
r²+5r+6=(r+2)(r+3)=0，
特...

问答题

求微分方程(3x ² +2xy-y ² )dx+(x ² -2xy)dy=0的通解．

答案：【解】方法一原方程化为3x²dx+(2xy-y²)dx+(x^2<...

问答题

设y(x)是方程y ⁽⁴⁾ -y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

答案：【解】由泰勒公式

当x→0时，y(x)与x³同阶
y(...

问答题

求一个以y ₁ =te ^t ，y ₂ =sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

答案：【解】由y₁=te^t，可知y₃=e^t

问答题

求解y"=e ^2y +e ^y ，且y(0)=0，y"(0)=2．

答案：【解】令y"=p(y)，则
代入方程，有

即y^"2=e...

问答题

求方程
的通解以及满足y(0)=2的特解．

答案：【解】这是变量可分离方程．当y²≠1时，分离变量得

两边积分，得
...

问答题

求微分方程
的通解，并求满足y(1)=0的特解．

答案：【解】此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之．
令y=ux，原方程化为
得
当x＞0...

问答题

求方程
的通解．

答案：【解】这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准型：

由通解公...

问答题

求(y ³ -3xy ² -3x ² y)dx+(3xy ² -3x ² y-x ³ +y ² )dy=0的通解．

答案：【解】将原给方程通过视察分项组合．
(y³-3xy²-3x

问答题

求微分方程
的通解．

答案：【解】应先用三角公式将自由项写成
e^-x+e^-xcosx，

问答题

求y"-y=e ^|x| 的通解．

答案：【解】自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(-∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y"=y+e...

问答题

设函数f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数
满足

①
求z的表达式．

答案：【解】将
代入式①，注意到f中的变元实际是一元
所以最终有可能化为含有关于f(u)的常微分方程．

问答题

设z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x-2y，x+3y)满足

①
求z=z(u，v)的一般表达式．

答案：【解】以z=z(u，v)，u=x-2y，v=x+3y代入式①，得到z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分...

问答题

利用变换y=f(e ^x )求微分方程y"-(2e ^x +1)y"+e ^2x y=e ^3x 的通解．

答案：【解】令

代入方程得t²f"(t)+tf"(t)-(...

问答题

求二阶常系数线性微分方程y"+λy"=2x+1的通解，其中λ为常数．

答案：【解】对应齐次方程y"+λy"=0的特征方程r²+λr=0的特征根为r=0或，r=-λ．
...

问答题

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
试求曲线L的方程；

答案：【解】设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y-y=y"(X-x)．令X=0，则得该切线在y轴上的截距为y-xy"．

问答题

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

答案：【解】设第一象限内曲线
在点P(x，y)处的切线方程为

即
它与x轴及y轴的交...

问答题

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y"(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S ₁ ，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S ₂ ，并设2S ₁ -S ₂ 恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

答案：【解】曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y-y=y"(x)(X-x)，它与x轴的交点为
由于y"(...

问答题

已知某商品的需求量x对价格p的弹性η=-3p ³ ，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数．

答案：【解】根据弹性的定义，有
由此得x=Ce^-p³，C为待定常数．由题...

问答题

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；
，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程
(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求需求量等于供给量时的均衡价格p _e ；

答案：【解】当需求量等于供给量时，有

因此均衡价格为

问答题

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；
，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程
(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

答案：【解】由条件知

因此有

即

在该式两边同时积分，得

由条件p(0)=1，可得

于是价格函数为

问答题

求差分方程y _t+1 +3y _t =3 ^t+1 (2t+1)的通解．

答案：【解】对应齐次方程的通解为Y=C(-3)^t，
由于这里 p(t)=3^t

问答题

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；
，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程
(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求

答案：【解】

问答题

求差分方程y _t+1 -ay _t =2t+1的通解．

答案：【解】题设方程对应的齐次差分方程y_t+1-ay_t=0的特征根λ=a，故其通解...

问答题

某商品市场价格p=p(t)随时间变化，p(0)=P ₀ ．而需求函数Q _A =b-ap(a，b＞0)．供给函数Q _B =-d+cp(c，d＞0)，且p随时间变化率与超额需求(Q _A -Q _B )成正比．求价格函数p=p(t)．

答案：【解】由题设

即

故

问答题

设Y _t ，C _t ，I _t 分别是t期的国民收入、消费和投资．三者之间有如下关系

求Y _t ．

答案：【解】由前面两个式子解出I_t，代入第三式有Y_t+1=[1+γ(1-α)]Y<...

求方程 的通解．

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求解

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已知曲线y=y(x)经过点(1，e -1 )，且在点(x，y)处的切线方程在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．

设有方程y"+P(x)y=x 2 ，其中 试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

求微分方程xy"+y=xe x 满足y(1)=1的特解．

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设用变限积分表示满足上述初值条件的解y(x)；

设讨论是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．

求微分方程(4-x+y)dx-(2-x-y)dy=0的通解．

求微分方程 的通解．

求微分方程 的通解．

求微分方程y"-2y"-e 2x =0满足条件y(0)=1，y"(0)=1的特解．

求微分方程y"+2y"+y=xe x 的通解．

求微分方程y"+4y"+4y=e -2x 的通解．

求微分方程y"+2y"-3y=e -3x 的通解．

求微分方程y"+5y"+6y=2e -x 的通解．

求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0的通解．

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求解y"=e 2y +e y ，且y(0)=0，y"(0)=2．

求方程 的通解以及满足y(0)=2的特解．

求微分方程 的通解，并求满足y(1)=0的特解．

求方程 的通解．

求(y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 )dy=0的通解．

求微分方程 的通解．

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设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点试求曲线L的方程；

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

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已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

求差分方程y t+1 +3y t =3 t+1 (2t+1)的通解．

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求差分方程y t+1 -ay t =2t+1的通解．

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设Y t ，C t ，I t 分别是t期的国民收入、消费和投资．三者之间有如下关系 求Y t ．

求方程
的通解．

已知y=y(x)是微分方程(x ² +y ² )dy=dx-dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x ₀ ，记y ₀ =y(x ₀ )．证明：

已知y=y(x)是微分方程(x ² +y ² )dy=dx-dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x ₀ ，记y ₀ =y(x ₀ )．证明：
均存在．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Φ"(x)=φ(x)，Φ(0)=0．求方程y"+ysinx=φ(x)e ^cosx 的通解；

已知曲线y=y(x)经过点(1，e ^-1 )，且在点(x，y)处的切线方程在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．

设有方程y"+P(x)y=x ² ，其中
试求在(-∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(-∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

求微分方程xy"+y=xe ^x 满足y(1)=1的特解．

设
用变限积分表示满足上述初值条件的解y(x)；

设
讨论
是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．

求微分方程
的通解．

求微分方程
的通解．

求微分方程y"-2y"-e ^2x =0满足条件y(0)=1，y"(0)=1的特解．

求微分方程y"+2y"+y=xe ^x 的通解．

求微分方程y"+4y"+4y=e ^-2x 的通解．

求微分方程y"+2y"-3y=e ^-3x 的通解．

求微分方程y"+5y"+6y=2e ^-x 的通解．

求微分方程(3x ² +2xy-y ² )dx+(x ² -2xy)dy=0的通解．

设y(x)是方程y ⁽⁴⁾ -y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

求一个以y ₁ =te ^t ，y ₂ =sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．

求解y"=e ^2y +e ^y ，且y(0)=0，y"(0)=2．

求方程
的通解以及满足y(0)=2的特解．

求微分方程
的通解，并求满足y(1)=0的特解．

求方程
的通解．

求(y ³ -3xy ² -3x ² y)dx+(3xy ² -3x ² y-x ³ +y ² )dy=0的通解．

求微分方程
的通解．

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满足

①
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①
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设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
试求曲线L的方程；

设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点
求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．

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(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求需求量等于供给量时的均衡价格p _e ；

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，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程
(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

求差分方程y _t+1 +3y _t =3 ^t+1 (2t+1)的通解．

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，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程
(k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求

求差分方程y _t+1 -ay _t =2t+1的通解．

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求Y _t ．