问答题

计算线积分
，其中L为由点A(-1,0)经点B(1，0)到点C(-1，2)的路径，
为下半圆周，
为直线．

答案： [解] 如右图补线段
，则右图中构成绕坐标原点的闭路．取Γ为4x²+y²

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设抛物线y=ax²+bx+c通过点(0，0)和(1，2)，且a＜0，试确定a，b，c的值使该抛物线与x轴所围图形D的面积最小，并求此图形D绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积．

答案： [解] 由抛物线y=ax²+bx+c过点(0，0)和(1，2)知
c=0，a+b=2．<...

计算线积分
，其中L为由点A(-1,0)经点B(1，0)到点C(-1，2)的路径，
为下半圆周，
为直线．

答案： [解] 如右图补线段
，则右图中构成绕坐标原点的闭路．取Γ为4x²+y²

已知齐次方程组Ax=0为

又矩阵B是2×4矩阵，Bx=0的基础解系为
α₁=(1，-2，3，-1)^T，α₂=(0，1，-2，1)^T
(Ⅰ)求矩阵B；
(Ⅱ)若Ax=0与Bx=0同解，求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
(Ⅲ)求方程组Ax=0满足x₃=-x₄的所有解．

答案：由B(α₁，α₂)=0有(α₁，α₂

设函数f(x，y)在闭圆域x²+y²≤1上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|≤1，求证：在开圆域x₂+y₂＜1内至少存在一点(x₀，y₀)，使
[f′_x(x₀，y₀)]²+[f′_y(x₀，y₀)]²＜4．

答案： [证] 1)若f(0，0)≥0，令
则
在D上有最大值，但

则

已知矩阵
可逆，A^是A的伴随矩阵，
是A^的特征向量．
(Ⅰ)求A^的特征值与特征向量；
(Ⅱ)判断A^能否相似对角化，如能则求可逆矩阵P使P^-1A^*P=A，如不能则说明理由．

答案：按定义，设A^*α=λ₀α，则AA^*α=λ_0<...

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0，(n＞1)．证明存在两个不同的点ξ，η∈(0，1)，使得

答案： [分析] 本题是要证明存在两个不同的点ξ，η∈(0，1)，使得

，这里不能在同一区间(0，1)上用...

已知曲线y=f(x)和
在原点处相切，试求极限
．

答案： [分析] 首先利用曲线y=f(x)和
在原点处相切，可求得a和f′(0)，然后再进一步求极限
．

已知随机变量(X，Y)的概率密度为

(Ⅰ)求常数A；
(Ⅱ)求条件概率密度f_Y|X(y|x)．

答案：常数A可以通过性质
来求得．

所以A=1．
(Ⅱ)
，且...

设X₁，X₂，…，X_n是来自区间[θ-1，θ+1]上均匀分布的总体X的简单随机样本，试求
(Ⅰ)参数θ的矩估计
；
(Ⅱ)参数θ的最大似然估计
．

答案： x的概率密度为

一个参数θ矩估计为

．所以
．
...