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问答题
讨论方程lnx=kx的根的个数．
答案：
[解] 情形一：当k=0时，方程只有唯一实根x=1；
情形二：当k＞0时，令f(x)=lnx-kx(x＞0)，...
情形二：当k＞0时，令f(x)=lnx-kx(x＞0)，...
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问答题
设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y"-y=(4-6x)e
-x
的一个解，且
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-x
的一个解，且
．求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．
答案：
[解] 2y"+y"-y=(4-6x)e-x的特征方程为2λ2+λ-1=0，...
．计算
求常数a的值，使得f(x)在x=0处连续；
求f"(x)，并讨论f"(x)在x=0处的连续性．
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得abe η-ξ =η 2 [f(η)-f"(η)]．
答案：
[解] 令φ(x)=e-xf(x)，
，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得
，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得
问答题
设函数f(x)(x≥0)连续可导，且f(0)=1．又已知曲线y=f(x)、x轴、y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积值与曲线y=f(x)在[0，x]上的一段弧长值相等，求f(x)．
答案：
[解] 曲线y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积为
；曲线y=f(x)...
；曲线y=f(x)...
，其中D是由x
2
+y
2
=4与x
2
+(y+1)
2
=1围成的区域．
满足
，若f(1)=0，f"(1)=1，求f(x)．
当a，b为何值时，β不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示；
，所以β不可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示；
为矩阵A的特征向量．求a，b的值及α对应的特征值λ．
为矩阵A的特征向量．求正交矩阵Q，使得Q
T
AQ为对角矩阵．
当a，b为何值时，β可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，写出表达式．
