设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=A...

问答题

设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

答案：【证】充分性 r(A)＜n，AX=0有非零解，将非零解X组成B，则B≠O，且有AB=O．
必要性若AB=O，...

问答题

设n阶矩阵A的秩为1，证明：A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；

答案：【证】将A以列分块，则r(A)=r(α₁，α₂，…，α_n

问答题

向量组β ₁ ，β ₂ ，…，β _t 可由向量组α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性表出，设表出关系为
[β ₁ ，β ₂ ，…，β _t ]=[α ₁ ，α ₂ ，…，α _s ]
若α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性无关．证明：
r(β ₁ ，β ₂ ，…，β _t )=r(C)．

答案：【证】B=[β₁，β₂，…，β_t]=[α_1<...

问答题

设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×n矩阵，已知A的行向量组的秩为r．证明：r(B)≥r+m-s。

答案：【证】因(A的行向量的个数s)-(A的线性无关行向量的个数r(A))≥(B的行向量个数m)-(B的线性无关的行向量的个数...

问答题

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A ^T A)=r(A)；(2)A ^T AX=A ^T b一定有解．

答案：【证】(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于...

问答题

设n阶矩阵A的秩为1，证明：存在数μ，对任意正整数k，有A ^k =μ ^k-1 A．

答案：【证】记α=α_i=[a₁，a₂，…，a_n

问答题

设线性方程组
λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．

答案：【解】方程组是齐次线性方程组

因

故当λ≠-2，且λ≠2时，有唯...

问答题

A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0．证明：A=O．

答案：【证】方法一由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]^T，由

问答题

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ ₁ =[1，0，1，1] ^T ，ξ ₂ =[2，1，0，-1] ^T ，ξ ₃ =[0，2，1，-1] ^T ，添加两个方程
后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

答案：【解】方程组(Ⅰ)的通解为

代入添加的两个方程，得

...

问答题

已知线性方程组(Ⅰ)
及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ ₁ =[-3，7，2，0] ^T ，ξ ₁ =[-1，-2，0，1] ^T ．求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

答案：【解】方程组(Ⅱ)的通解为
k₁ξ₁+k₂ξ...

问答题

已知线性方程

(1)a，b为何值时，方程组有解；
(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；
(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

答案：【解】

(1)a=1，b=3时，r(A)=r(A|b)，方程有解．
(2)导出组基础解系...

问答题

已知η ₁ =[-3，2，0] ^T ，η ₂ =[-1，0，-2] ^T 是线性方程组
的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．

答案：【解】对应齐次方程组有解
ξ=η₁-η₂=[-2，2，2]

问答题

已知线性方程组
的通解为[2，1，0，1] ^T +k[1，-1，2，0] ^T ．记
α _j =[a _1j ，a _2j ，a _3j ，a _4j ] ^T ，j=1，2，…，5．
问：α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₅ 线性表出，说明理由．

答案：【解】α₄能由α₁，α₂，α₃，...

问答题

已知4阶方阵A=[α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ]，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 均为4维列向量，其中α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性无关，α ₁ =2α ₂ -α ₃ ，如果β=α ₁ +α ₂ +α ₃ +α ₄ ，求线性方程组AX=β的通解．

答案：【解】方法一由α₁=2α₂-α₃及α₂

问答题

已知线性方程组
的通解为[2，1，0，1] ^T +k[1，-1，2，0] ^T ．记
α _j =[a _1j ，a _2j ，a _3j ，a _4j ] ^T ，j=1，2，…，5．
问：α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出，说明理由．

答案：【解】α₄不能由α₁，α₂，α₃...

问答题

设A _m×n ，r(A)=m，B _n×(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

答案：【证】将B按列分块，设B=[β₁，β₂，…，β_n-m]...

问答题

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η ₁ ，η ₂ ，η ₃ 是它的三个解向量，且η ₁ +η ₂ =[1，2，3] ^T ，η ₂ +η ₃ =[2，-1，1] ^T ，η ₃ +η ₁ =[0，2，0] ^T ，求该非齐次方程的通解．

答案：【解】r(A)=1，AX=b的通解应为k₁ξ₁+k₂ξ...

问答题

设三元线性方程组有通解
求原方程组．

答案：【解】设非齐次线性方程为
ax₁+bx₂+cx₃

问答题

已知方程组(Ⅰ)
及方程组(Ⅱ)的通解为
k ₁ [-1，1，1，0] ^T +k ₂ [2，-1，0，1] ^T +[-2，-3，0，0] ^T ．
求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

答案：【解】将方程组(Ⅱ)的通解
k₁[-1，1，1，0]^T+k

问答题

已知方程组
(Ⅰ)与方程组
(Ⅱ)是同解方程组，试确定参数a，b，c．

答案：【解】对方程组(Ⅰ)，因增广矩阵为

知其通解为
k[-1，2，-1，1]

问答题

设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AA ^T =2E，|A|＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A ^* 的一个特征值．

答案：【解】由

为A的特征值．由AA ^T =2E，

则A ^* 的一个特征值为

问答题

设A为n阶矩阵，λ ₁ 和λ ₂ 是A的两个不同的特征值，x ₁ ，x ₂ 是分别属于λ ₁ 和λ ₂ 的特征向量．证明：x ₁ +x ₂ 不是A的特征向量．

答案：【证】反证法假设x₁+x₂是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x_...

问答题

已知矩阵
相似．求x与y；

答案：【解】B的特征值为2，y，-1．由A与B相似，则A的特征值为2，y，-1．故

问答题

已知B是n阶矩阵，满足B ² =E(此时矩阵B称为对合矩阵)．求B的特征值的取值范围．

答案：【解】设B有特征值λ，对应的特征向量为ξ，即Bξ=λξ．左乘B，得
B²ξ=Eξ=ξ=λ...

问答题

已知矩阵
相似．求一个满足P ^-1 AP=B的可逆矩阵P．

答案：【解】分别求出A的对应于特征值λ ₁ =2，λ ₂ =1，λ ₃ =-1的线性无关的特征向量为

令可逆矩阵

，则P ^-1 AP=B．

问答题

设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．

答案：【证】方法一利用特征值的定义．
设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则
ABξ=λξ． ①...

问答题

已知n阶矩阵A的每行元素之和为a，求A的一个特征值，当k是自然数时，求A ^k 的每行元素之和．

答案：【解】A的每行元素之和为a，故有

即a是A的一个特征值．
又A^k<...

问答题

A是三阶矩阵，λ ₁ ，λ ₂ ，λ ₃ 是三个不同的特征值，ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ ₁ +ξ ₂ )，A(ξ ₂ +ξ ₃ )，A(ξ ₃ +ξ ₁ )线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．

答案：【证】

因为ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 线性无关，

A是可逆阵．

问答题

设A是三阶实矩阵，λ ₁ ，λ ₂ ，λ ₃ 是A的三个不同的特征值，ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 是三个对应的特征向量．证明：当λ ₂ λ ₃ ≠0时，向量组ξ ₁ ，A(ξ ₁ +ξ ₂ )，A ² (ξ ₁ +ξ ₂ +ξ ₃ )线性无关．

答案：【证】因

因λ ₁ ≠λ ₂ ≠λ ₃ ，故ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 线性无关，由上式知

问答题

设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，A ^T η=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．

答案：【证】Aξ=λξ，两边转置得
ξ^TA^T=λξ^T

问答题

设矩阵
问k为何值时，存在可逆阵P，使得P ^-1 AP=Λ．求出P及相应的对角阵．

答案：【解】

λ=-1是二重特征值．为使A相似于对角阵，要求
r(λE-A)=r(-E-A)=...

问答题

已知
求A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于Λ，a为何值时，A不能相似于Λ．

答案：【解】

得λ ₁ =1-a，λ ₂ =a，λ ₃ =1+a．

且a≠0时，λ ₁ ≠λ ₂ ≠λ ₃ ，A～Λ；

a=0时，λ ₁ =λ ₃ =1，

问答题

已知α=[1，k，1] ^T 是A ^-1 的特征向量，其中
求k及α所对应的特征值．

答案：【解】由题设A^-1α=λα，λ是A^-1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=...

问答题

设矩阵
有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P ^-1 AP=Λ，Λ是对角阵．

答案：【解】A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E-A的秩应为1．

...

问答题

已知ξ=[1，1，-1] ^T 是矩阵
的一个特征向量．确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；

答案：【解】设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即

即

解得λ=-1，a=-3，b=0．

问答题

设矩阵
且|A|=-1，A的伴随矩阵A ^* 有特征值λ ₀ ，属于λ ₀ 的特征向量为α=[-1，-1，1] ^T ，求a，b，c及λ ₀ 的值．

答案：【解】A^*α=λ₀α，左乘A．得AA^*α=|A|α=-...

问答题

已知ξ=[1，1，-1] ^T 是矩阵
的一个特征向量．A是否相似于对角阵，说明理由．

答案：【解】当a=-3，b=0时，由

知λ=-1是A的三重特征值，但

...

问答题

设A是三阶实对称阵，λ ₁ =-1，λ ₂ =λ ₃ =1是A的特征值，对应于λ ₁ 的特征向量为ξ ₁ =[0，1，1] ^T ，求A．

答案：【解】λ₂=λ₃=1有两个线性无关特征向量ξ₂，ξ

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b一定有解．

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已知线性方程组(Ⅰ) 及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ 1 =[-3，7，2，0] T ，ξ 1 =[-1，-2，0，1] T ．求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程 (1)a，b为何值时，方程组有解； (2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系； (3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

已知η 1 =[-3，2，0] T ，η 2 =[-1，0，-2] T 是线性方程组 的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．

已知线性方程组 的通解为[2，1，0，1] T +k[1，-1，2，0] T ．记 α j =[a 1j ，a 2j ，a 3j ，a 4j ] T ，j=1，2，…，5． 问：α 4 能否由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 5 线性表出，说明理由．

已知4阶方阵A=[α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ]，α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 均为4维列向量，其中α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，α 1 =2α 2 -α 3 ，如果β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，求线性方程组AX=β的通解．

已知线性方程组 的通解为[2，1，0，1] T +k[1，-1，2，0] T ．记 α j =[a 1j ，a 2j ，a 3j ，a 4j ] T ，j=1，2，…，5． 问：α 4 能否由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表出，说明理由．

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设A是三阶实矩阵，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是A的三个不同的特征值，ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 是三个对应的特征向量．证明：当λ 2 λ 3 ≠0时，向量组ξ 1 ，A(ξ 1 +ξ 2 )，A 2 (ξ 1 +ξ 2 +ξ 3 )线性无关．

设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，A T η=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．

设矩阵 问k为何值时，存在可逆阵P，使得P -1 AP=Λ．求出P及相应的对角阵．

已知 求A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于Λ，a为何值时，A不能相似于Λ．

已知α=[1，k，1] T 是A -1 的特征向量，其中 求k及α所对应的特征值．

设矩阵 有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P -1 AP=Λ，Λ是对角阵．

已知ξ=[1，1，-1] T 是矩阵 的一个特征向量．确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；

设矩阵 且|A|=-1，A的伴随矩阵A * 有特征值λ 0 ，属于λ 0 的特征向量为α=[-1，-1，1] T ，求a，b，c及λ 0 的值．

已知ξ=[1，1，-1] T 是矩阵 的一个特征向量．A是否相似于对角阵，说明理由．

设A是三阶实对称阵，λ 1 =-1，λ 2 =λ 3 =1是A的特征值，对应于λ 1 的特征向量为ξ 1 =[0，1，1] T ，求A．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A ^T A)=r(A)；(2)A ^T AX=A ^T b一定有解．

向量组β ₁ ，β ₂ ，…，β _t 可由向量组α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性表出，设表出关系为
[β ₁ ，β ₂ ，…，β _t ]=[α ₁ ，α ₂ ，…，α _s ]
若α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性无关．证明：
r(β ₁ ，β ₂ ，…，β _t )=r(C)．

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A ^T A)=r(A)；(2)A ^T AX=A ^T b一定有解．

设n阶矩阵A的秩为1，证明：存在数μ，对任意正整数k，有A ^k =μ ^k-1 A．

设线性方程组
λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ ₁ =[1，0，1，1] ^T ，ξ ₂ =[2，1，0，-1] ^T ，ξ ₃ =[0，2，1，-1] ^T ，添加两个方程
后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

已知线性方程组(Ⅰ)
及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ ₁ =[-3，7，2，0] ^T ，ξ ₁ =[-1，-2，0，1] ^T ．求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程

(1)a，b为何值时，方程组有解；
(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；
(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

已知η ₁ =[-3，2，0] ^T ，η ₂ =[-1，0，-2] ^T 是线性方程组
的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．

已知线性方程组
的通解为[2，1，0，1] ^T +k[1，-1，2，0] ^T ．记
α _j =[a _1j ，a _2j ，a _3j ，a _4j ] ^T ，j=1，2，…，5．
问：α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₅ 线性表出，说明理由．

已知4阶方阵A=[α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ]，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 均为4维列向量，其中α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性无关，α ₁ =2α ₂ -α ₃ ，如果β=α ₁ +α ₂ +α ₃ +α ₄ ，求线性方程组AX=β的通解．

已知线性方程组
的通解为[2，1，0，1] ^T +k[1，-1，2，0] ^T ．记
α _j =[a _1j ，a _2j ，a _3j ，a _4j ] ^T ，j=1，2，…，5．
问：α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出，说明理由．

设A _m×n ，r(A)=m，B _n×(n-m) ，r(B)=n-m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η ₁ ，η ₂ ，η ₃ 是它的三个解向量，且η ₁ +η ₂ =[1，2，3] ^T ，η ₂ +η ₃ =[2，-1，1] ^T ，η ₃ +η ₁ =[0，2，0] ^T ，求该非齐次方程的通解．

设三元线性方程组有通解
求原方程组．

已知方程组(Ⅰ)
及方程组(Ⅱ)的通解为
k ₁ [-1，1，1，0] ^T +k ₂ [2，-1，0，1] ^T +[-2，-3，0，0] ^T ．
求方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

已知方程组
(Ⅰ)与方程组
(Ⅱ)是同解方程组，试确定参数a，b，c．

设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AA ^T =2E，|A|＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A ^* 的一个特征值．

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已知矩阵
相似．求x与y；

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已知矩阵
相似．求一个满足P ^-1 AP=B的可逆矩阵P．

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已知
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求k及α所对应的特征值．

设矩阵
有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P ^-1 AP=Λ，Λ是对角阵．

已知ξ=[1，1，-1] ^T 是矩阵
的一个特征向量．确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；

设矩阵
且|A|=-1，A的伴随矩阵A ^* 有特征值λ ₀ ，属于λ ₀ 的特征向量为α=[-1，-1，1] ^T ，求a，b，c及λ ₀ 的值．

已知ξ=[1，1，-1] ^T 是矩阵
的一个特征向量．A是否相似于对角阵，说明理由．

设A是三阶实对称阵，λ ₁ =-1，λ ₂ =λ ₃ =1是A的特征值，对应于λ ₁ 的特征向量为ξ ₁ =[0，1，1] ^T ，求A．