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问答题
设
设
已知线性方程组AX=β有解不唯一．
试求：
(1)a的值；
(2)正交矩阵Q，使Q
T
AQ为对角矩阵．
答案：
正确答案：由条件知r(A)=r[A┆β]＜3，→a=一2，Q=
．
．
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的一个特征值为3．求y的值；
问答题
{{*HTML*}}设4阶方阵A满足条件｜
{{*HTML*}}设4阶方阵A满足条件｜
I+A｜=0，AA
T
=2I，｜A｜＜0，其中I是4阶单位阵．求A的伴随矩阵A
*
的一个特征值．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由0｜
+A｜=(一1)4｜一
—A｜知A有一个...
+A｜=(一1)4｜一
—A｜知A有一个...
问答题
{{*HTML*}}设
{{*HTML*}}设
问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P
—1
AP=D为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵D．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由｜λE—A｜=
=(λ+1)2(λ一1)=0，得A的全部...
=(λ+1)2(λ一1)=0，得A的全部...
问答题
{{*HTML*}}设
{{*HTML*}}设
已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值，试求可逆矩阵P，使P
—1
AP为对角形矩阵．
答案：
正确答案：由条件知方程组(2E一A)x=0的基础解系含2个向量，故2E—A的秩为1，得x=2，y=一2，
问答题
{{*HTML*}}设向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ，β=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T 都是非零向量，且满足条件α T β=0．记n阶矩阵A=αβ T ，求：{{*HTML*}}A 2 ；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由于β
T
α=α
T
β=0，故A
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=α(0)β
T
=O．
问答题
{{*HTML*}}设
{{*HTML*}}设
(1)求a、b的值；(2)求可逆矩阵P，使P
—1
AP=B．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由
解得a=5，b=6，计算可得对应于特征值2，2；6的线性无关特征向量分别可取...
解得a=5，b=6，计算可得对应于特征值2，2；6的线性无关特征向量分别可取...
问答题
{{*HTML*}}设向量α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T ，β=(b 1 ，b 2 ，…，b n ) T 都是非零向量，且满足条件α T β=0．记n阶矩阵A=αβ T ，求：矩阵A的特征值和特征向量．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：因A2=0，故A的特征值全为零．因α≠0，β≠0，不妨设a...
问答题
{{*HTML*}}设
A=
{{*HTML*}}设
A=
，B=(kE+A)
2
，(k为实数)
求对角矩阵D，使B与D相似；并问k取何值时B为正定矩阵?
答案：
{{*HTML*}}正确答案：易求得实对称矩阵A的特征值为2，2，0，故存在可逆矩阵P，使—1AP...
问答题
{{*HTML*}}已知3阶实对称矩阵A的特征值为6，3，3，α 1 =(1，1，1) T 是属于特征值λ 1 =6的特征向量，求矩阵A．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：设A的属于特征值λ2=λ3=3的特征向量为α=...
问答题
{{*HTML*}}已知矩阵A=(a ij ) n×n (n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A * 的特征值和特征向量．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由A*A=｜A｜E=O，知A的n一1个线性无关的列向量都是方程组A<...
问答题
设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于对角矩阵．
答案：
正确答案：由于A有n个互不相同特征值，故A有n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)必成立．故只需证明(1...
相似于对角矩阵
，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P
—1
AP=A．
问答题
{{*HTML*}}设矩阵A=
{{*HTML*}}设矩阵A=
是矩阵A
*
的一个特征向量，λ是a对应的特征值，其中A
*
是矩阵A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：设A*的属于特征值λ的特征向量为λ，则由A可逆知A*
问答题
{{*HTML*}}设α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T 为R n 中的非零向量，方阵A=αα T ．{{*HTML*}}证明：对于正整数m，存在常数t，使A m =t m—1 A，并求出t；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：Am=(ααT)(ααT...
求A的特征值和特征向量；
问答题
{{*HTML*}}设α=(a 1 ，a 2 ，…，a n ) T 为R n 中的非零向量，方阵A=αα T ．{{*HTML*}}求可逆矩阵P，使P —1 AP为对角阵A．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：A≠O．AT=A，1≤r(A)=r(ααT)≤...
问答题
{{*HTML*}}设三阶实对称矩阵的秩为2，λ 1 =λ 2 =6是A的二重特征值，若α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(2，1，1) T ，α 3 =(一1，2，一3) T 都是A的属于特征值6的特征向量．求A的另一特征值和对应的特征向量；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：因为λ1=λ2=6是A的二重特征值，故A的属于...
问答题
{{*HTML*}}设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．{{*HTML*}}求矩阵B，使A[α 1 ，α 2 ，α 3 ]=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]B；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由题设条件，有 A[α1，α2，α3...
问答题
{{*HTML*}}设三阶实对称矩阵的秩为2，λ 1 =λ 2 =6是A的二重特征值，若α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(2，1，1) T ，α 3 =(一1，2，一3) T 都是A的属于特征值6的特征向量．求矩阵A．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：令矩阵P=[α
1
α
2
α]，则有
问答题
{{*HTML*}}设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α 3 满足Aα 3 =α 2 +α 3 ．{{*HTML*}}证明α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：设存在一组常数k1，k2，k3
问答题
{{*HTML*}}设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．求A的特征值；
答案：
{{*HTML*}}正确答案：记矩阵C=[α1，α2，α3
问答题
{{*HTML*}}设A=
{{*HTML*}}设A=
，正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵．若Q的第1列为
(1，2，1)
T
，求a，Q．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：ξ=(1，2，1)T为A的属于特征值λ1的特征...
问答题
{{*HTML*}}设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．{{*HTML*}}求一个可逆矩阵P，使得P —1 AP为对角矩阵．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：对于λ1=λ2=1，解方程组(E一B)x=0，...
问答题
{{*HTML*}}设A为3阶矩阵，α 1 ，α 2 为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α 3 满足Aα 3 =α 2 +α 3 ．{{*HTML*}}令P=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]，求P —1 AP．
答案：
{{*HTML*}}正确答案：由题设条件可得 AP=A[α1，α2，α
