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问答题
设某产品总产量Q(t)的变化率为
设某产品总产量Q(t)的变化率为
(Ⅰ) 投产后多少年可使平均产量达到最大值并求此最大值；
(Ⅱ) 在达到平均年产量最大值后，求再生产3年的平均年产量．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 根据已知条件，产品的总产量为
因此
令(t)=0，得...
因此
令(t)=0，得...
你可能感兴趣的试题
，
.
．
．
，求
.
，其中
．
，
，
都是无穷小量，将它们按关于x的阶数从低到高的顺序排列．
是
的几阶无穷小．
在点x=1处连续，求出参数a，b的值．
，求证：x=0是f(x)的间断点，并指出间断点的类型(是可去或跳跃间断点是第二类间断点)．
，又知f(x)在x=0可导，求f＇(0)的值．
问答题
设f(x)，ψ(x)均有二阶导数，又u=f(ψ(x)+y2)，其中x，y满足方程y+ey=x，求
设f(x)，ψ(x)均有二阶导数，又u=f(ψ(x)+y2)，其中x，y满足方程y+ey=x，求
.
答案：
[分析与求解] 按题意，由方程y+ey=x确定y=y(x)，因而u=f(ψ(x)+y2<...
.
，求y(100)．
的值．
，其中f(x)=x(x≥0)，
，求
的值．
问答题
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数且y＇≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数且y＇≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(Ⅰ) 试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(Ⅱ) 求变换后的微分方程满足初始条件
，y＇(0)=2的解；
(Ⅲ) 请验证，对所求的y=y(x)在(-∞，+∞)存在反函数．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 这实质上是求反函数的一、二阶导数的问题，由反函数求导公式知
代入原微分方程...
代入原微分方程...
讨论f(x)的连续性和可导性．
问答题
设
设
．
(Ⅰ) S表示由曲线y=f(x)(x≤0)，负x轴及y轴所围成的无穷长曲边形的面积，s1(t)表示矩形：0≤x≤t，0≤y≤f(t)的面积，求S(t)=S+S1(t)的表达式；
(Ⅱ) 求S(t)(t∈[0，+∞))的最大值。
答案：
[分析与求解]
是S(t)在[0，+∞)的最大值.
是S(t)在[0，+∞)的最大值.
，求
．
问答题
设
设
，求证：
(Ⅰ) f(x)在(-∞，+∞)二阶连续可导；
(Ⅱ) f(x)在(-∞，+∞)单调下降；
(Ⅲ) f(x)在(-∞，+∞)是凹的．
答案：
[分析与证明]
f(x)在x=0连续．
当x≠0时
又
...
f(x)在x=0连续．
当x≠0时
又
...
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)连续且
设f(x)在(-∞，+∞)连续且
.若f(x)为偶函数且单调下降，问F(x)在(-∞，+∞)是奇函数还是偶函数，是单调上升还是单调下降
答案：
[分析与求解] 这是讨论变限积分函数F(x)的奇偶性与单调性问题．先讨论奇偶性，考察
F(-x...
F(-x...
问答题
设
设
，
(Ⅰ) 求f(x)在(0，+∞)的最小值；
(Ⅱ) f(x)在(0，+∞)有无最大值为什么
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 由定积分的几何意义
用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分．
当0＜x＜1...
用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分．
当0＜x＜1...
问答题
(Ⅰ) 求定积分
(Ⅰ) 求定积分
(Ⅱ) 设f(x)是可导函数，
，g(x)是f(x)的反函数，且满足
,求积分
与
的值．
答案：
[分析与求解] ，在此积分中令x=-t，
定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，因此I可写为
定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，因此I可写为
问答题
过坐标原点作曲线
过坐标原点作曲线
的切线，该切线与曲线
及y轴围成平面图形D．
(Ⅰ) 求D的面积A；
(Ⅱ) 求D绕y轴旋转一圈所得旋转体体积V．
答案：
[分析与求解] 为用定积分计算面积和体积，须先求出切线方程，另外，画出草图对分析问题是很有帮助的．设切线的切点坐标为(x...
问答题
设f(x)在[0，2π]上具有一阶连续导数，且f＇(x)≥0，证明：对于任何正整数n有
设f(x)在[0，2π]上具有一阶连续导数，且f＇(x)≥0，证明：对于任何正整数n有
答案：
[分析与证明] 要证的不等式的被积函数是两类函数的乘积，适合利用分部积分．因f＇(x)≥0，所以f(x)是单调增加的函数...
问答题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0且满足方程f"(x)+cosf＇(x)=ef(x)，证明f(x)在[a，b]上恒为零．
答案：
[分析与证明] 一般对这类题采用反证法．
反证，设f(x)在[a，b]上不恒为0，因f(x)在[a，b]连续，...
反证，设f(x)在[a，b]上不恒为0，因f(x)在[a，b]连续，...
的全部渐近线．
问答题
设0＜a＜6，g(x)在[a，a+b]上连续，在(a，a+b)内可导，且f(a)=b，f(b)=a，f(a+b)=a+b，证明存在一点ξ∈(a，a+b)使得f＇(ξ)+g＇(ξ)[f(ξ)-ξ|=1．
答案：
[分析与证明] 把要证的等式变形成
[f＇(ξ)-1]+g＇(ξ)[f(ξ)-ξ]=0，ξ∈(a，a+b)．<...
[f＇(ξ)-1]+g＇(ξ)[f(ξ)-ξ]=0，ξ∈(a，a+b)．<...
，求出f(0)，f＇(0)及f"(0)的值．
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)二阶可导，
设f(x)在(-∞，+∞)二阶可导，
，又f"(x)＞0(x∈(-∞，+∞))，求证：
f(x)＞5x-2 (
x≠1).
答案：
[分析与证明] 由
[证明1] (利用单调性证明不等式).
令 F(x)=f(x)-(...
[证明1] (利用单调性证明不等式).
令 F(x)=f(x)-(...
是x的几阶无穷小．
问答题
某商品的需求函数为
某商品的需求函数为
，
(Ⅰ) 求需求Q对价格p的弹性η1和总收益R对价格的弹性12；
(Ⅱ) 讨论价格p1=2，p2=4时，当价格上涨1%时，需求Q及总收益R是增加还是减少，增加或减少的幅度是多少
答案：
[分析与求解]
(Ⅱ) 需求Q是价格p的减函数，再看
当p＜3时
...
(Ⅱ) 需求Q是价格p的减函数，再看
当p＜3时
...
问答题
设需求函数和总成本函数分别为P=a-bQ，
设需求函数和总成本函数分别为P=a-bQ，
，当需求Q对价格P的弹性
，收益R对产量Q的边
时，其利润最大，
(Ⅰ) 求利润最大时的产量；
(Ⅱ) 确定a，b的值.
答案：
[分析与求解] 取得极值的必要条件是当利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)在Q0处取得极值时，则必...
问答题
设某产品总产量Q(t)的变化率为
设某产品总产量Q(t)的变化率为
(Ⅰ) 投产后多少年可使平均产量达到最大值并求此最大值；
(Ⅱ) 在达到平均年产量最大值后，求再生产3年的平均年产量．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 根据已知条件，产品的总产量为
因此
令(t)=0，得...
因此
令(t)=0，得...
问答题
若一曲线y=y(x)上任一点M(x，y)处的切线斜率为
若一曲线y=y(x)上任一点M(x，y)处的切线斜率为
，且过点(
，1)，求此曲线方程y=y(x)．
答案：
[分析与求解] 根据题设条件，所求曲线y=y(x)为下列一阶微分方程的初值问题：
的解.
...
的解.
...
，其中g(t)连续，求
问答题
已知(y2+ay2sinx)dx+(bxy-2ycosx)dy是某二元函数u(x，y)的全微分，则常数a，b的值为多少．
答案：
[分析与求解1] 按题意
而均连续，故有
即 2y+2aysinx=by+...
而均连续，故有
即 2y+2aysinx=by+...
问答题
设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f,g,h有连续偏导数且g＇zh＇t-g＇th＇z≠0，求
设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f,g,h有连续偏导数且g＇zh＇t-g＇th＇z≠0，求
．
答案：
[分析与求解] 这个方程组中有5个变量(x，y，u，z，t)，3个方程式，于是确定3个因变量，2个自变量，按题意，x，y...
问答题
设f(x，y)在(0，0)连续，给定
设f(x，y)在(0，0)连续，给定
讨论F(x,y)在(0，0)点的可微性，若可微请求出F(x，y)在点(0，0)的全微分．
答案：
[分析与求解] 由于f(x，y)没给出具体的表达式，除了在(0，0)点连续外无其他条件，因此需要直接从定义出发来判断．<...
问答题
设z=z(x，y)由方程sin2x+sin2y-z=ψ(x+y+z)所确定的函数，ψ有连续的二阶导数，且ψ＇≠1，
设z=z(x，y)由方程sin2x+sin2y-z=ψ(x+y+z)所确定的函数，ψ有连续的二阶导数，且ψ＇≠1，
(Ⅰ) 求dz；
(Ⅱ) 记
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 对sin2x+sin2y-z=ψ(x+y+z)关于x...
问答题
设某产品的产量Q与两种原料的投入量x，y的函数关系为
设某产品的产量Q与两种原料的投入量x，y的函数关系为
，该产品的成本函数为C=4x+3y．
(Ⅰ) 若限定成本预算为80，计算使产量达到最高的原料投入量x和y；
(Ⅱ) 若限定产量为120，计算使成本最低的原料投入量x和y．
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 问题是求产餐函数Q在条件4x+3y=80下的最大值点．由可得
因是递减函数...
因是递减函数...
问答题
求函数z=x2+12xy+2y2在区域：4x2+y2≤．25上的最大值．
答案：
[分析与求解] 根据连续函数在有界闭区域上的性质知，z(x，y)在该区域存在最大值．
(1)先求区域内部：4x...
(1)先求区域内部：4x...
问答题
设有二重积分
设有二重积分
其中D1=(x，y)| |x|≤1，|y|≤1，D2=(x，y)|x2+y2≤4，D3=(x，y)|
，请将这三个二重积分按大小排序．
答案：
[分析与求解] D1关于x轴对称，x2y对y为奇函数，可以推出：
...
...
满足
，求f(t)的表达式.
.
问答题
求
求
，其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围．
答案：
[分析与求解] I(a)的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．
...
...
．
．
在极坐标系下的二次积分为
，请将它化为直角坐标系下的二次积分．
是正项级数，
是它的部分和，求证：
收敛，则
收敛．
条件收敛．
收敛．
问答题
设f(x)是连续函数，且f(0)≠0，
设f(x)是连续函数，且f(0)≠0，
，其中Dt=(x，y)x2+y2≤t2，t＞0。
(Ⅰ) 利用导数定义(不用变限积分求导公式)计算F＇(t)；
(Ⅱ) 证明：对于任意λ＞0，级数
收敛．
答案：
[分析与求解]
根据导数定义，
(Ⅱ) 由于F＇(t)=2πtf(t)，所以
利用正项级...
根据导数定义，
(Ⅱ) 由于F＇(t)=2πtf(t)，所以
利用正项级...
的和函数S(x).
问答题
求解下列差分方程.
求解下列差分方程.
(Ⅰ) 设y0=6，求差分方程2yt+1-yt=5sin
的解yt.
(Ⅱ) 求差分方程yt+1-yt=2t-1的通解yt.
答案：
[分析与求解] (Ⅰ) 先将方程改写为标准形式
相应的齐次方程的通解为
...
相应的齐次方程的通解为
...
与直线
在第一象限围成图形的面积为I(n)，其中n为自然数．
的和．
