问答题

计算I=∮_L(y²-z²)dx+(2z²-x²)dy+(3x²-y²)dz．其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向往负向看L，L是逆时针方向．

答案： [解] 方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法，用斯托克斯公式，取平面x+y+z=...

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设S为平面x-y+z=1介于三坐标平面间的有限部分，法向量与z轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算

答案： [解] 将S投影到xOy平面，其投影域(如下图)为
D={(x，y)|x-y≤1，x≥0，y≤0}．<...

计算I=∮_L(y²-z²)dx+(2z²-x²)dy+(3x²-y²)dz．其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向往负向看L，L是逆时针方向．

答案： [解] 方法一 封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法，用斯托克斯公式，取平面x+y+z=...

计算
其中S为圆柱面x²+y²=a²介于z=0和z=h之间的部分．

答案： [解] 由轮换对称性，

，从而

计算曲面积分
，其中∑为上半球面
的上侧．

答案： [解] 记S为平面z=0(x²+y²≤a²)的下侧，Ω为∑与S所围成的空间区域，则

计算
，其中Ω为平面曲线
绕z轴旋转转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．

答案： [解] 旋转曲面的方程为

，因此

或

证明曲线积分的估计式为
|∫_LPdx+Qdy|≤lM，
式中l为积分曲线段长度，
利用上式估计：

并证明

答案： [证] 因为
∫_LPdx+Qdy=∫_LF·ds，

计算
，其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧．

答案： [解] 方法一(利用对称性并直接计算) 由球面∑的对称性，知

已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求证：

答案： [证] 因曲面z=z(x，y)在任一点(x，y，z)的法线向量为
，故

计算
其中∑：x²+y²+z²=1．

答案： [解] 方法一 利用高斯公式，设∑的外法线向量n=(cosα，cosβ，cosγ)，则...

计算I=∫_L⁺ydx+zdy+xdz，其中L⁺为曲线
其方向从y轴正向往负向看去为逆时针方向．

答案： [解] 设x+y+z=1在球的内部的区域为S，法向量取向上．由斯托克斯公式有：

设球体x²+y²+z²≤2az(如下图)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心．

答案： [解] 由于所给球体的质量分布关于z轴对称，所以它的重心位于z轴上，而密度是

...

设半径为R的球的球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

答案： [解] 以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为
定球：x²

在密度为1的半球体
的底面接上一个相同材料的柱体：-h≤z＜0，x²+y²≤R²(h＞0)，试确定h值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上．

答案： [解] 设球柱体Ω的重心为
，由对称性知
而

要使...

如果向量场

是有势场，求常数a，b的值及A的势函数u．

答案： [解] 有势场是旋度恒为零的向量场，由rotA=0即可求得有关量，由

...

计算三重积分
其中Ω={(x，y，z)|x²+y²+z²≤2}．

答案： [解] 将Ω分解成Ω₁：x²+y²+z²

设f(x)在[0，1]上连续，试证：

答案： [证] 因为f(x)在[0，1]上连续，所以在[0，1]上存在原函数．
设F’(t)=f(t)(t∈[...

计算∫_Γ(x²+y²+z²)ds，其中

答案： [解] 先写出参数式，

于是，

故

设某曲线L的线密度μ=x²+y²+z²，其方程为

(1)求曲线L的弧长l；
(2)求曲线L对z轴的转动惯量J；
(3)求曲线L对位于原点处质量为m的质点的引力(k为引力常数)．

答案： [解] 曲线的弧微分
，于是
(1)曲线L的弧长

(2)在曲线...

设函数
，其中
，若曲线积分∫_LPdx+Qdy在区域D={(x，y)|y＞0}上与路径无关，求参数λ．

答案： [解] 区域D为单连通区域，P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的偏导数，故∫_LPd+Qdy在D...

设曲线C：y=sinx，0≤x≤π，

答案： [证] 先将曲线积分化为定积分：

则由定积分的性质，得
...

设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫_Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且
，求f(x，y)．

答案： [解] ①∫_Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关
，积分得f(x，y)=...

设曲线C：x²+y²+x+y=0，取逆时针方向，证明：

答案： [证] 关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后对二重积分进行估值．
...

设L是平面上包含原点的单连通有界区域σ的正向边界线，n₀是L上任一点(x，y)处的单位外法向量设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=|r|，θ是n₀与r的夹角，试

答案： [解] 本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系．注意到第二型曲线积分要考虑曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量，...

设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有

其中Ω(t)={(x，y，z)|x²+y²+z²≤t²}，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足
，且f(0)=0．

答案： [证] D(t)={(x，y)|x²+y²≤t²}，∑...

设平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，

答案： [解] 将D分成第一、二、三、四象限中的4块，分别记为D₁，D₂，D

计算三重积分
其中Ω由平面y=1．圆柱面x²+z²=1和半球面
围成，如下图所示．

答案： [解] 因为Ω关于xOy及yOz坐标面对称，所以有

设a与b都是常数且b＞a＞0．试写出yOz平面上的圆(y-b)²+z²=a²绕Oz轴一圈生成的环面S的方程；

答案： [解]

替代(y-b)²+z²=a²中的y，便得S的直角坐标方程

设a与b都是常数且b＞a＞0． S所围成的实心环的空间区域为Ω，计算三重积分

答案： [解] 用柱面坐标，按先z再r后θ的次序，

其中