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问答题
求微分方程x(y 2 一1)dx+y(x 2 一1)dy=0的通解．
答案：
正确答案：用(x2一1)(y2一1)除方程的两端，则原方程化为
由...
由...
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)dy=0当y＞0时的通解是y=________．
(C＞0)
=x的通解．
这就是原方程的通解．
问答题
求下列微分方程的通解：(Ⅰ) y"一3y’=2—6x； (Ⅱ) y"+y=2cosx； (Ⅲ) y"+4y’+5y=40cos3x．
答案：
正确答案：(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为λ2—3λ=λ(λ一3)=0，故通解为<...
问答题
设某商品的需求量D和供给量S各自对价格P的函数为D(P)=
设某商品的需求量D和供给量S各自对价格P的函数为D(P)=
，S(P)=6P，且P是时间t的函数，并满足方程
=k[D(P)一s(P)]，其中a，b，k为正的常数．
求：(Ⅰ)需求量与供给量相等时的均衡价格P
3
；(Ⅱ)当t=0，P=1时的价格函数P(t)；(Ⅲ)
P(t)。
答案：
正确答案：(Ⅰ)令D(P)=S(P)，即
． (Ⅱ)把D(P)和S(P)的表达式代入方程，得
分离变...
． (Ⅱ)把D(P)和S(P)的表达式代入方程，得
分离变...
问答题
设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足0≤f(x)≤e x 一1； (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e x 一1分别交于点P 2 和P 1 ； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P 1 P 2 之长．求函数f(x)的表达式．
答案：
正确答案：如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知 S=∫0xf...
问答题
求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y’+
求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y’+
=1；
(Ⅱ)xy’+2y=sinx；
(Ⅲ)ydx一2(x+y
4
)dy=0；
(Ⅳ)y’+xsin2y=x
3
cos
2
y．
答案：
正确答案：(Ⅰ)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为
(Ⅱ)本题虽然是一阶线性微分...
(Ⅱ)本题虽然是一阶线性微分...
问答题
给出满足下列条件的微分方程：
(Ⅰ)方程有通解y=(C
1
+C
2
x+x
—1
)e
—x
；
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解
y
1
=cos2x一
给出满足下列条件的微分方程：
(Ⅰ)方程有通解y=(C
1
+C
2
x+x
—1
)e
—x
；
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解
y
1
=cos2x一
xsin2x．
答案：
正确答案：(1)通解变形为exy=C1+C2x+x
问答题
求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解： (Ⅰ)2y"+y’一y=0； (Ⅱ)y"+8y’+16y=0； (Ⅲ)y"一2y’+3y=0．
答案：
正确答案：(Ⅰ)特征方程为2λ2+λ一1=0，特征根为λ1=一1，λ
问答题
(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=
(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=
的特解；
(Ⅱ)求y"+a
2
y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ)求y"+4y’+4y=e
x
的通解，其中a为常数；
(Ⅳ)求y"+y=x
3
一x+2的通解．
答案：
正确答案：(Ⅰ)对应齐次微分方程的特征方程为λ2一7λ+12=0，它有两个互异的实根λ1...
问答题
设当x≥0时f(x)有一阶连续导数，且满足 f(x)=一1+x+2∫ 0 x (x一t)f(t)f’(t)dt，求f(x)．
答案：
正确答案：在原方程中，令x=0，得f(0)=一1．将原方程化为 f(x)=一1+x+2x∫0
问答题
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)．若 ∫ 0 f(x) g(t)dt+∫ 0 x f(t)dt=xe x 一e x +1， 求f(x)．
答案：
正确答案：将题设等式两边对x求导，得 g[f(x)]f’(x)+f(x)=xex． 由于g[f(x...
问答题
已知xy’+p(x)y=x有解y=e x ，求方程满足y｜ x=ln 2 =0的解．
答案：
正确答案：把已知解代入方程，得[x+p(x)]ex=x，由此可确定方程的待定系数p(x)=x(e<...
，求满足条件的φ(x)．
，分离变量并利用已知的通解即得
求f(t)．
问答题
设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k为常数．
答案：
正确答案：由于此线性微分方程的通解可表示为y(x)=e—kx[C+∫0
问答题
求下列一阶常系数线性差分方程的通解：
(Ⅰ)4y
t+1
+16y
t
=20；
(Ⅱ)2y
t+1
+10y
t
一5t=0；
(Ⅲ)y
t+1
一2y
t
=2
t
；
(Ⅳ)y
t+1
—y
t
=4cos
求下列一阶常系数线性差分方程的通解：
(Ⅰ)4y
t+1
+16y
t
=20；
(Ⅱ)2y
t+1
+10y
t
一5t=0；
(Ⅲ)y
t+1
一2y
t
=2
t
；
(Ⅳ)y
t+1
—y
t
=4cos
答案：
正确答案：(Ⅰ)方程可化简为yt+1+4yt=5．由于a=4，可得对应齐次方...
问答题
求下列方程满足给定条件的特解：
(Ⅰ))y
t+1
一y
t
=2
t
，y
0
=3；
(Ⅱ)y
t+1
+4y
t
=17cos
求下列方程满足给定条件的特解：
(Ⅰ))y
t+1
一y
t
=2
t
，y
0
=3；
(Ⅱ)y
t+1
+4y
t
=17cos
，y
0
=1．
答案：
正确答案：(Ⅰ)由于yt+1一yt=2t的特解为2
的特解．
