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问答题设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
答案：[解]因为|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
你可能感兴趣的试题
- 问答题
设
求f(x)．
答案：[解]
- 问答题
设f(x)满足方程
其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|，求解f(x)并证明它是奇函数．
答案：[解]
令
则原式
即
由上述联立的方程组，得
又因为
所以f(x)为奇函数． - 问答题
设f(x)满足关系式
其中φ(x)当x≠1时是有定义的已知函数，求f(x)．答案：[解]
令
则
即
解由上述等式联立的方程组，得
- 问答题
设f(x)为多项式，且
求f(x)．
答案：[解]由
可知应设f(x)=2x
3
+x
2
+bx+c．
又由
可知
可得c=0．
于是
故f(x)=2x 3 +x 2 +3x． - 问答题
设f(x)在x=0附近有界，且满足方程
求f(x)．
答案：[解]
将以上诸式相加，得
因为当n→∞时，
又f(x)在x=0附近有界，
所以
- 问答题
已知f(x)在(-∞，+∞)上有定义，f"(0)存在，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，求f(x)．
答案：[解]由于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy， ①
令y=0，则f(x)=f(x)+f(0)
... - 问答题
已知
且f"(x)存在，求解f(x)．
答案：[解]因为
所以原方程
两边对x求导，得
故
- 问答题
求满足下列方程
的可微函数f(x)．
答案：[解]因为
所以原方程
两边对x求导，得
... - 问答题
设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
求解f(x)．答案：[解]方程两边对x求导，得
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
- 问答题
设f(x)在(-∞，+∞)内具有连续导数，且满足
求f(x)．
答案：[解]显然f(0)=0，因为f(t)为偶函数，因此只需求出t＞0时f(t)的表达式．
当t≥0时，
... - 问答题
已知f(x)是连续函数且满足方程
求f(x)．
答案：[解]
- 问答题
设f(u)在(-∞＜u＜+∞)内可导，且f(0)=0，
又
求f(x)在(-∞，+∞)上的表达式．
答案：[解]令lnx=t，则x=et，
当t≤0时，f(t)=t+C<... - 问答题
设函数y=f(x)由
确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且
求函数ψ(t)．
答案：[解]由题设可得
于是
又
所以
... - 问答题
设
f二阶可导，且
求f(x)(其中a＞0，b＞0)．
答案：[解]
因为
所以
令
则
再令
即
解联立方程组①，②得
故
- 问答题
设
具有连续的二阶偏导数，且满足
试求函数u的表达式．
答案：[解]令
则u=u(r)．
同理
于是
- 问答题
设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫ L 2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对任意t恒有
求Q(x，y)．
答案：[解]由曲线积分与路径无关的条件有
Q(x，y)=x2 - 问答题
设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为一个全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
答案：[解]方程为全微分方程的充要条件
即x2+2xy-f(x)=f"(x)+2x... - 问答题
求具有连续二阶导数的函数f(x)，使
其中L为xOy平面上第一象限内任一光滑闭曲线，且f(1)=f"(1)=0．答案：[解]因为L为xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线，又
于是，该曲线积分与路径无关，... - 问答题
设f(x)在[a，b]上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且
证明
答案：[证]引入参数t，考查f"(x)+txf(x)．
由题设知，上式在[a，b]上对任何实数t都不能恒为“0”，事... - 问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
答案：[解]因为|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
- 问答题
设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在(a，b)内至少存在一个ξ，使f"(ξ)＞0．
答案：[证]因为f(a)=f(b)且f(x)不恒为常数，
所以至少存在一点c∈(a，b)使得f(c)≠f(a)=f(... - 问答题
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f(c)＞0，a＜c＜b，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＜0．
答案：[证]因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，可知存在一个η1∈(a，c)使得
... - 问答题
证明：当x＞0时，证明：
答案：[证]令f(x)=lnt，当x＞0时，显然它在[1，1+x]满足拉格朗日中值定理的条件，于是
ξ∈(1，1+x... - 问答题
设a＞e，
求证：a
y
-a
x
＞(cosx-cosy)a
x
lna．
答案：[证]令f(t)=at，g(t)=cost，由题设条件可知，f(t)，g(t)在[x，y](0＜x... - 问答题
设f(x)=a 1 sinx+a 2 sin2x+…+a n sinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a 1 ，a 2 ，…，a n 为实常数，试证：
|a 1 +2a 2 +…+na n |≤1．答案：[证]f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+an... - 问答题
设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x 1 ＞0，x 2 ＞0有
f(x 1 +x 2 )＜f(x 1 )+f(x 2 )．答案：[证]由拉格朗日中值定理有
f(x1)=f(x1)-f(0)=x<... - 问答题
证明：当
时，
答案：[证]只证
显然
令
因为
(因为tanx＞x)
所以f(x)“↘”，又
故，当
时，
即
于是
- 问答题
已知α∈(-1，+∞)，t在0与α之间，求证：
答案：[证]令
因为
所以f(t)“↘”．且f(0)=0，f(α)=-α，
所以
或
即
或
故
- 问答题
设f(x)，g(x)二阶可导，当x＞0时，f"(x)＞g"(x)且f(0)=g(0)，f"(0)=g"(0)，证明：当x＞0时，f(x)＞g(x)．
答案：[证]令
F(x)=f(x)-g(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)，
F"(x)... - 问答题
证明：当x＞0时，
答案：[证]令
因为
所以f(x)单调递减．
又因为
所以当x＞0时，
即
- 问答题
设b＞a＞0，证明：
答案：[证]令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)，(x≥a)
因为
所以f"... - 问答题
设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：
答案：[证]令b=x，作辅助函数
于是
所以F(x)单调增加，于是，
当b≥a时，有F(b)≥F(a)=0，即
- 问答题
设0≤x≤1，p＞1，证明不等式：
答案：[证]令F(x)=xp+(1-x)p，
F"(x)=px... - 问答题
试证：若m＞0，n＞0，a＞0，则
答案：[证]令F(x)=xmA.x)n，
F.(x)=mxm-1... - 问答题
求证：若x，y，z为满足x 2 +y 2 +z 2 =8的正数，则
答案：[证]令F(x，y，z)=x3+y3+z3+λ(x - 问答题
利用函数图形的凹凸的定义，证明下列不等式：
答案：[证]令f(t)=e t ，
因为f"(t)=e t ＞0，
所以f(t)=e t 在(x，y)或(y，x)区间内是凹的，
于是
即
- 问答题
利用函数图形的凹凸的定义，证明下列不等式：
答案：[证]令f(t)=tlnt，(t＞0)
f"(t)=lnt+1，
故f(t)=tlnt在... - 问答题
设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
其中p 1 ，p 2 ，…，p n 均为正数，x 1 ，x 2 ，…，x n ∈(a，b)．答案：[证]令
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x0处可展成... - 问答题
设
且f"(x)＞0， 证明f(x)＞x．(x≠0)
答案：[证]由
可知f(0)=0．又
因为f(x)二阶可导，所以f(x)在x=0处可展成一阶泰... - 问答题
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
x∈[0，1]．
答案：[证]因为f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，所以f(x)可展成一阶泰勒公式．
ξ在x与x - 问答题
证明不等式：
答案：[证]先证
由分部积分法有
再证
因为 - 问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且
求证：
0≤c≤1，使得|f(c)|≥4．
答案：[证]
因为f(x)在[0，1]上连续，所以|f(x)|在[0，1]上连续，于是必存在... - 问答题
设P，Q，R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明：
|∫ L Pdx+Qdy+Rdz|≤Ml，其中
答案：[证]令
则cos2α+cos2β+cos2... - 问答题
设f(x)在[a，b]上二阶可导，且当x∈[a，b]时，f"(x)＜0，试证：
答案：利用泰勒公式，有
两边对x积分，
所以，
- 问答题
若f"(x)在[0，2π]上连续，且f"(x)≥0，则对任意正整数n，有
答案：利用分部积分有
因为，f"(x)≥0，所以，f(2π)≥f(0)，有
且满足
求f(x)．
