问答题

用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变．

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{{HTML}} 设函数f(y)的反函数f^-1(x)及f’[f^-1(x)]与f"[f^-1(x)]都存在，且f’[f^-1(x)]≠0.证明：

{{HTML}} 设f(x)=x³+4x²-3x-1，试讨论方程f(x)=0在(-∞，0)内的实根情况

{{HTML}} 证明：不等式

{{HTML}} 设y=f(lnx)e^f(x)，其中f可微，求

{{HTML}} 设曲线f(x)=xⁿ在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(x_n，0)，n=1，2，…，计算

{{HTML}} 已知

{{HTML}} 求函数的导数：y=a^{a^x}+a^{x^x}+a^{x^a}+a^{a^a}(a＞0)．

{{HTML}} 求函数的导数：y=e^f(x)·f(e^x)，其中f(x)具有一阶导数．

{{HTML}} 函数y=y(x)由方程cos(x²+y²)+e^x-x²y=0所确定，求

{{HTML}} 设
且f"(x)＞0，证明：f(x)≥x．

{{HTML}} 设
试问当α取何值时，f(x)在点x=0处(1)连续；(2)可导；(3)一阶导数连续；(4)二阶导数存在．

{{HTML}} 证明：当x＞0时，有不等式

{{HTML}} 利用导数证明：当x＞1时，

{{HTML}} 设b＞a＞e，证明：a^b＞b^a．

{{HTML}} 用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数．

用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变．

{{HTML}} 求
的反函数的导数．

{{HTML}} 求函数
的导数

{{HTML}} 设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且
f’(x)=e^f(x)，f(2)=1，求f⁽ⁿ⁾(2)．

{{HTML}} 设y=y(x)是由
确定的隐函数，求y’(0)和y"(0)的值．

{{HTML}} 设
是三个互不相等的常数，求y⁽ⁿ⁾．

{{HTML}} 曲线
的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?

{{HTML}} 设
又函数f(x)可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

{{HTML}}设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ，n=2，3，…．{{HTML}} 证明方程f_n(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根x_n；

{{HTML}}设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ，n=2，3，…．{{HTML}}

{{HTML}}设f_n(x)=1-(1-cosx)ⁿ，求证：{{HTML}} 对于任意正整数n，
在
中仅有一根；

{{HTML}} 在数
中求出最大值．

{{HTML}}设f_n(x)=1-(1-cosx)ⁿ，求证：{{HTML}} 设有
满足

{{HTML}} 证明：方程x^α=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

{{HTML}} 设0＜k＜1，f(x)=kx-arctanx．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x₀∈(0，+∞)，使f(x₀)=0.

{{HTML}} f(x)在(-∞，+∞)上连续，
且f(x)的最小值f(x₀)＜x₀，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

{{HTML}} 设T=cosnθ，θ=arccosx，求

【计算题】
已知y=x²sin2x，求y⁽⁵⁰⁾．

答案： (uv)'=u'v+uv'
(uv)''=((uv)')'...