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问答题
设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)>0，f(1)+∫ 0 1 f(x)dx=0，试证： 至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．
答案：
正确答案：令
，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=...
，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=...
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问答题
设
设
函数f(x)由下列表达式确定：
求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．
答案：
正确答案：
显然x=1为间断点，连续区间(－∞，1)∪(1，+∞)．
所以x=1为无穷间断点．
显然x=1为间断点，连续区间(－∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1为无穷间断点．
的导数．
的图形．
问答题
证明：当0＜a＜b＜π时， bsin b+2cos b+nb＞asin a+2cosa+πa．
答案：
正确答案：令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增． F’(x)=sinx+xc...
问答题
若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ (k) (x 0 )=ψ (k) (x 0 )，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x 0 时，φ (n) (x)＞ψ (n) (x)．试证：当x＞x 0 时，φ(x)＞ψ(x) ．
答案：
正确答案：令u(n－1)(x)=φ(n－1)(x)－ψ(n－1)<...
问答题
设xOy平面上有正方形D={(x，y)}0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l=x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫ 0 x S(t)dt(x≥0)．
答案：
正确答案：由题设知
所以当0≤x≤1时，∫0xS(t)dt=
所以当0≤x≤1时，∫0xS(t)dt=
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)>0，f(1)+∫ 0 1 f(x)dx=0，试证： 至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．
答案：
正确答案：令
，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=...
，f(1)+∫01f(x)dx=f(1)+f(c)=...
问答题
设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)出确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(f)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求
设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)出确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(f)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1．求
答案：
正确答案：由z=f(u)，可得
在方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得
在方程u=φ(u)+∫
y
x
P(t)dt两边分别对x，y求偏导数，得
计算：(1)grad u；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu)．
则D=D
1
∪D
2
：
问答题
设幂级数
设幂级数
a
n
(x－b)
n
在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数
a
n
x
n
的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数
的收敛半径．
答案：
正确答案：令t=x－b，收敛中心x0=b的幂级数
an(x－b)<...
an(x－b)<...
问答题
设y(x)是方程y (1) －y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
答案：
正确答案：由泰勒公式
当x→0时，y(x)与x3同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y...
当x→0时，y(x)与x3同阶，则y(0)=0，y’(0)=0，y...
问答题
适当选取函数φ(x)，作变量代换y=φ(x)u，将y关于x的微分方程
适当选取函数φ(x)，作变量代换y=φ(x)u，将y关于x的微分方程
化为u关于x的二阶常系数线性齐次微分方程
求φ(x)及常数λ，并求原方程满足y(0)=1，y’(0)=0的特解．
答案：
正确答案：
于是原方程化为
令xφ(x)+2φ’(x)=0，解之，取
于是有
即...
于是原方程化为
令xφ(x)+2φ’(x)=0，解之，取
于是有
即...
