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问答题
设f(x)=
设f(x)=
(a
k
coskx+b
k
sinkx)，其中a
k
，b
k
(k=1，2，…，n)为常数．证明：
(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；
(Ⅱ)f
(m)
(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点
答案：
正确答案：(Ⅰ)令F(x)=
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
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问答题
设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证： [∫ 0 1 f(x)dx] 2 ＞∫ 0 1 f 3 (x)dx．
答案：
正确答案：即证[∫01f(x)dx]2-∫0...
问答题
设f(x)在(a，b)二阶可导，
设f(x)在(a，b)二阶可导，
x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
≠x
2
，
∈(0，1)，若f’’(x)＞0(
∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1-t)x
2
]＜tf(x
1
)+(1-t)f(x
2
)，
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)].
答案：
正确答案：因f’’(x)＞0(x∈(a，b))
f(x)在(a，b)为凹的
(4．5)相应的式子成立...
f(x)在(a，b)为凹的
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问答题
设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)a p +b p ＞2 1-p (a+b) p (p＞1)； (Ⅱ)a p +b p ＜2 1-p (a+b) p (0＜p＜1)．
答案：
正确答案：将ap+bp＞21-p(a+b)p...
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问答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f’ + (a)与f’ - (b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．
答案：
正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b-δ，且
于是f(a+δ)＞f(a)，f(b-δ...
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问答题
设f(x)在[a，b]上可导，且f’ + (a)＞0，f’ - (b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f’(x)在(a，b)至少有两个零点．
答案：
正确答案：f(x)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，...
问答题
设f(x)在(a，b)内可导，且
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．求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．
答案：
正确答案：设g(x)=
则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于...
则g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g(a)=g(b)，把罗尔定理用于...
问答题
设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F’’(c)=0．
答案：
正确答案：由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，则
ξ1∈(0，1)，F...
ξ1∈(0，1)，F...
问答题
设f(x)=
设f(x)=
(a
k
coskx+b
k
sinkx)，其中a
k
，b
k
(k=1，2，…，n)为常数．证明：
(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有两个相异的零点；
(Ⅱ)f
(m)
(x)在[0，2π)也必有两个相异的零点
答案：
正确答案：(Ⅰ)令F(x)=
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
，显然，F’(x)=f(x)．由于F(x)是以2π为周期的可导函数，故F(x)在...
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫ 0 1 f(x)dx=0，∫ 0 1 xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
答案：
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，G(x)=∫0
∈(x
1
，x
2
)使得
问答题
设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
设f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f(1)=0，试证：
∈(0，1)使得
答案：
正确答案：令F(x)=
，由于
因此F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导． 由于f(0)=...
，由于
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问答题
设f(x)在(a，b)内可导，且
设f(x)在(a，b)内可导，且
x
0
∈(a，b)使得
又f(x
0
)＞0(＜0)，
＜0(＞0)(如图4．13)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．
答案：
正确答案：由
x1∈(a，x0)使f(x1)...
x1∈(a，x0)使f(x1)...
在(0，+∞)内只有两个不同的实根．
问答题
设f*(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，又b＞a＞0，求证：
设f*(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，又b＞a＞0，求证：
，η∈(a，b)使得f’(ξ)=ηf’(η)
答案：
正确答案：把所证的结论改写成
．由
分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理
，η∈(a，b)使得
代入上式即得结论．
．由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理，η∈(a，b)使得代入上式即得结论．
讨论f(x)与g(x)的极值．
的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．
