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问答题
设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，试证：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
答案：
正确答案：必要性设BTAB正定，则对任意n维非零列向量x， 有xT(B
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a
ij
2
，
a
ij
=0(i，j=1，2，…，n)，即A=O．
问答题
已知AP=PB，其中
已知AP=PB，其中
求矩阵A及A
5
．
答案：
正确答案：因P可逆，得A=PBP
－1
A
5
=(PBP
－1
)(PBP
－1
)…(PBP
－1
)=PB
5
P
－1
=PBP
－1
=A
A
5
=(PBP
－1
)(PBP
－1
)…(PBP
－1
)=PB
5
P
－1
=PBP
－1
=A
问答题
已知向量组(Ⅰ)： β 1 =(0，1，－1) T ，β 2 (a，2，1) T ，β 3 =(b，1，0) T 与向量组．(Ⅱ)： α 1 =(1，2，－3) T ，α 2 =(3，0，1) T ，α 3 =(9，6，－7) T 具有相同的秩，且β 3 可由向量组(Ⅱ)线性表示，求a、b的值．
答案：
正确答案：α1，α2是向量组(Ⅱ)的一个极大无关组，(Ⅱ)的秩为2，故(Ⅰ)...
问答题
问a、b为何值时，线性方程组
问a、b为何值时，线性方程组
有唯一解、无解，有无穷多组解并求出有无穷多解时的通解．
答案：
正确答案：当a≠1时有唯一解；当a=1且b≠1时无解；当a=1且b=－1时有无穷多解，通解为x=(－1，1，0，0)
问答题
设矩阵A=(a
ij
)
n×n
的秩为n，a
ij
的代数余子式为A
ij
(i，j=1．2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
α
1
=(A
r+1，1
，…，A
r+1，n
)
T
α
2
=(A
r+2，1
，…，A
r+2，n
)
T
α
n－r
=(A
n1
，…，A
nn
)
T
设矩阵A=(a
ij
)
n×n
的秩为n，a
ij
的代数余子式为A
ij
(i，j=1．2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
α
1
=(A
r+1，1
，…，A
r+1，n
)
T
α
2
=(A
r+2，1
，…，A
r+2，n
)
T
α
n－r
=(A
n1
，…，A
nn
)
T
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．
答案：
正确答案：r(B)=r，
方程组Bx=0的基础解系含n－r个向量，故只要证明α1，α
方程组Bx=0的基础解系含n－r个向量，故只要证明α1，α
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
相似，证明：矩阵C=(A－λ
1
E)(A－λ
2
E)(A－λ
3
E)=O．
的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
问答题
设A为三阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的三维列向量，且满足 Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3求矩阵B，使得A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(α 1 ，α 2 ，α 3 )B；
答案：
正确答案：由题设条件并利用矩阵乘法，可得 A(α1，α2，α3
问答题
设A为三阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的三维列向量，且满足 Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3求矩阵A的特征值；
答案：
正确答案：因为α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，...
问答题
设A为三阶矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是线性无关的三维列向量，且满足 Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3求可逆矩阵P，使得P －1 AP为对角矩阵．
答案：
正确答案：对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E－B)x=0，得基础解系...
问答题
设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：A+B的特征值全大于a+b．
答案：
正确答案：1 设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使 (A+B)X=λX， 故有(A+B)X－(a+b)X=λX－(a...
问答题
设n阶矩阵A正定，X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
．证明：二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)
设n阶矩阵A正定，X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
．证明：二次型
f(x
1
，x
2
，…，x
n
)
为正定二次型．
答案：
正确答案：
两端取行列式，得 f(X)=－
=|A|XTA－1
两端取行列式，得 f(X)=－
=|A|XTA－1
化成了标准形f=6y
1
2
+3y
2
2
－2y
3
2
．求a、b的值及所用正交变换的矩阵P．
