问答题

要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V ₀ m ³ ．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低

答案：正确答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m²，水池总造价为y，则y=2π...

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求下列极限：

答案：正确答案：属∞／∞型．

答案：正确答案：

求下列极限：

答案：正确答案：令x=1／t，则

所以原极限=e ^－1／3 ．

求双纽线r ² =a ² cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．

答案：正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，π／4]．面积
S=2．2π∫₀

证明|∫ _n ^n+p sin(x ² )dx|≤1／n，其中p＞0．

答案：正确答案：∫_n^n+psin(x²)dx
|∫...

设0＜x ₁ ＜x ₂ ，f(x)在[x ₁ ，x ₂ ]可导，证明：在(x ₁ ，x ₂ )内至少ヨ一个c，使得

答案：正确答案：
要证f’(x)－f(x)+k在(x₁，x₂)ヨ零点

设有参数方程
0≤t≤π．求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；

答案：正确答案：dx／dt=3cos²t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，π／2，π时...

设有参数方程
0≤t≤π．讨论y=y(x)的可导性与单调性；

答案：正确答案：
当t≠0，π／2，π时dx／dt≠t≠0
反函数t=t(x)可导
y=y(茗)...

设有参数方程
0≤t≤π．讨论y=y(x)的凹凸性．

答案：正确答案：

y=y(x)在[－1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的图形如图4．2．

要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V ₀ m ³ ．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低

答案：正确答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m²，水池总造价为y，则y=2π...

求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：f(x)=sin ³ x；

答案：正确答案：

求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：f(x)=xln(1－x ² )．

答案：正确答案：

设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f ⁽⁴⁾ (a)≠0，求证：当f ⁽⁴⁾ (a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．

答案：正确答案：f(x)－f(a)=f’(a)(x－a)+
f"(a)(x－a)²+

设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=
dxdy，试求f(t)

答案：正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分
=∫₀^2πdθ∫<...

求点M ₁ (2，1，3)到平面П：2x－2y+z－3=0的距离与投影．

答案：正确答案：点M₁到平面П的距离
平面П的法向量n={2，－2，1}，过M₁

若可微函数z=f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数。求证：x
=0 (r≠0)．

答案：正确答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)与r无关

=0．

求下列区域Ω的体积：Ω：由z=x ² +y ² ，x+y+z=1所围成；

答案：正确答案：
消去z得x²+x+y²+y=1，即
于是Ω在...

设S为柱面x ² +y ² =a ² (0≤z≤h)的外侧，满足x≥0的部分，求I=
zdydz+xyzdzdx+ydxdy．

答案：正确答案：S如图9．25，S垂直xy平面，于是
ydxdy=0，
I=
zdydz+xyz...

求下列区域Ω的体积：Ω：由曲面z=y ² (y≥0)，z=4y ² (y≥0)，z=x，z=2x，z=4所围成．

答案：正确答案：如图9．29，Ω={(x，y，z)|
，(z，x)∈D_zx}，
D<...

选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x ² +y ² ≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中

答案：正确答案：先确定a，b，使
，(x，y)∈D．
=1／(x²+y^2<...