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问答题
更换下列积分次序：
更换下列积分次序：
答案：
[解]由积分的上下限知
由D 1 ，D 2 作出D的图形，见图1．于是
图1
故
由D 1 ，D 2 作出D的图形，见图1．于是
图1
故
你可能感兴趣的试题
其中D为下列双纽线所围成：
其中D为下列双纽线所围成：(x
2
+y
2
)
2
=2xy．
D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图1所示)．
作出其图形，
D是由直线y=x及抛物线y=x
2
所围成的区域(如图2所示)．
不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故
求
中
不能直接计算出来．
问答题
设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x 2 +y 2 =1为外侧，柱面x 2 +y 2 =2x为内侧，试求这个柱体的体积．
答案：
[解]由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影，即积分域D如图所示，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便．
与
所夹部分的面积．
问答题
求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．
答案：
[解]显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．
<...
<...
D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．
D是由x+y≤t，x=0及y=0围成的，求
其中
D：x
2
+y
2
≤9．[如图1所示]
[如图2所示]
其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．
则在D内f(x，y)≡0．
问答题
设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：
设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：
其中，D为圆环域：ε
2
≤x
2
+y
2
≤1．
答案：
[证]采用极坐标，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则
于是
<...
则
于是
<...
按y，z，x的次序积分重新改写．
按x，z，y的次序积分改写．
Ω为由平面x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示)．
问答题
计算
计算
Ω是球面x
2
+y
2
+z
2
=4与抛物面x
2
+y
2
=3z所围形体．
答案：
[解]凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成的形体，一般用柱坐标计算为宜．在柱坐标系下，
球面与抛物面的交线为
即
故
球面与抛物面的交线为
即
故
其中Ω是由曲线y
2
=2x，x=0绕Oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之形体．
问答题
计算三重积分
计算三重积分
其中Ω是由锥面x
2
+y
2
=z
2
与平面z=a(a＞0)围成的区域，如图所示．
答案：
[解]本题积分域为锥体，既可用柱面坐标系，也可用球面坐标系．该处用球面坐标系做，注意各面均应写成球坐标方程．
问答题
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时
答案：
[解]记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则
由题知
所以
因此
由题知
所以
因此
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：a的值；
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足
