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问答题
设
设
分别判断级数
的敛散性．
答案：
【解】根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0=0处的高阶导数
则所考虑的<...
则所考虑的<...
你可能感兴趣的试题
的敛散性．
单调递减且此数列收敛于0，由莱布尼茨判别法知，级数
收敛．
的敛散性．
故原级数收敛．
的敛散性．
的敛散性．
(n为正整数)，且
求函数项级数
之和．
记它们交点的横坐标的绝对值为a
n
．求：这两条抛物线所围成的平面图形的面积S
n
；
得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为
根据对称性可得
展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．
记它们交点的横坐标的绝对值为a
n
．求：级数
的和．
所以
的收敛域与和函数，并求
的和．
n=1，2，…，试求
的值．
因为
逐项求导，得
的和函数．
的和函数S(x)．
由
收敛，由比较审敛法得
收敛．
收敛，则由比较审敛法得
收敛．
又因
发散，则由比较审敛法得
发散．
都是正项级数．试证：若
收敛，则
收敛；
收敛，且有
收敛．
都是正项级数．试证：若
收敛，且u
n
单调减少，则
收敛；
收敛．
都是正项级数．试证：若
都收敛，则
都收敛；
都是正项级数．试证：若
收敛，则
收敛．
条件收敛．
证明：级数
收敛．
的敛散性．
是正项级数，并设
求证：若b＞1，则
收敛；若b＜1，则
发散；
是正项级数，并设
当b=1时，试举出可能收敛也可能发散的例子．
发散，这时
根据积分审敛法易知其收敛，这时令x=lnn，
则有
所以有
问答题
根据阿贝尔定理，已知
根据阿贝尔定理，已知
在某点x
1
(x
1
≠x
0
)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：
(1)若在x
1
处收敛，则收敛半径R≥|x
1
-x
0
|；
(2)若在x
1
处发散，则收敛半径R≤|x
1
-x
0
|；
(3)若在x
1
处条件收敛，则收敛半径R=|x
1
-x
0
|．
答案：
【解】根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的．
对于(3)，因幂级数
在点x1处...
对于(3)，因幂级数
在点x1处...
在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数
的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数
的收敛半径．
的幂级数．
展开为(x+1)的幂级数．
是行不通的．改用“先积后导”的方法：
将f(x)展开为x的幂级数；
|x|＜1，则f(x)展开为x的幂级数
证明：级数
收敛，并求其和．
收敛，故
收敛．
的和，作
问答题
设数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1，且a
n+1
=a
n
+a
n-1
，n=2，3，…．证明：在
设数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1，且a
n+1
=a
n
+a
n-1
，n=2，3，…．证明：在
时幂级数
收敛，并求其和函数与系数a
n
．
答案：
【证】(1)显然，{an}是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a...
求y(0)，y"(0)，并证明：(1-x
2
)y"-xy"=4；
得y(0)=0；又
于是y"(0)=0，
以下证明微分方程成立：
求
的和函数及级数
的值．
