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问答题
设有参数方程
设有参数方程
0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，
=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，
你可能感兴趣的试题
的图形．
问答题
设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且
设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且
(a，b))．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．
答案：
正确答案：因为
所以存在常数c，使得
，即f(x)=cg(x)(
∈(a，b))．
所以存在常数c，使得，即f(x)=cg(x)(∈(a，b))．
问答题
设P(x)在[0，+∞)连续且为负值，y=y(x)在[0，+∞)连续，在(0，+∞)满足y’+P(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．
答案：
正确答案：由y’+P(x)y＞(x＞0)
[e∫0xP(...
[e∫0xP(...
问答题
设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对
设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对
(a≤x≤b)满足f’’(x)+g(x)-f’(x)-f(x)=0．求证：f(x)≡0(x∈[a，b])．
答案：
正确答案：若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 不妨设f(x0<...
问答题
设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．
答案：
正确答案：若不然
∈(a，b)，f’(x)≤0
f(x)在[a，b]单调不增
∈[a，b]...
∈(a，b)，f’(x)≤0
f(x)在[a，b]单调不增
∈[a，b]...
问答题
证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．
答案：
正确答案：考察f(x)=x-asinx-b，即证它在(0，a+b]有零点．显然，f(x)在[0，a+b]连续，且 f(0...
(x∈(-∞，+∞))．
，则
=1有且仅有一个解，求k的取值范围．
问答题
讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln 2 x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．
答案：
正确答案：令f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为...
x
2
＜ln(1+x)＜x(
＞0)
问答题
设f(x)在[1，+∞)可导，
设f(x)在[1，+∞)可导，
[xf(x)]≤-kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的
子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M为常数，求证：f(x)＜
(x＞1)．
答案：
正确答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)
子区间上不恒为零，要证f(x)x...
子区间上不恒为零，要证f(x)x...
，求证a
y
-a
x
＞(cosx-cosy)a
x
lna．
一个c，使得
问答题
设f(x)在[0，1]可导且f(1)=
设f(x)在[0，1]可导且f(1)=
e
1-x2
f(x)dx，求证：
∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．
答案：
正确答案：即证f’(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点
e-x2
e-x2
问答题
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)
2
f(x)，证明
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)
2
f(x)，证明
使得F’’(x
0
)=0．
答案：
正确答案：首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明
，使得...
，使得...
问答题
设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得
设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得
答案：
正确答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使
令g(x)=x
令g(x)=x
问答题
设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f’’(0)存在．求证：
设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f’’(0)存在．求证：
答案：
正确答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(-1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，...
问答题
设有参数方程
设有参数方程
0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，
=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，
问答题
设f(x)=nx(1-x)
n
(n为自然数)，(Ⅰ)求
设f(x)=nx(1-x)
n
(n为自然数)，(Ⅰ)求
f(x)；(Ⅱ)求证：
答案：
正确答案：(Ⅰ)先求f’(x)=n(1-x)
n-1
[1-(n+1)x]
，得唯一驻点x=x
n
=
.又
(Ⅱ)注意
单调下降极限为
，得唯一驻点x=x
n
=
.又
(Ⅱ)注意
单调下降极限为
，求证：f’
+
(x
0
)=A(f’
-
(x
0
)=A)．
(Ⅱ)设f(x)在(x
0
-δ，x
0
+δ)连续，在(x
0
-δ，x
0
+δ)／{x
0
}可导，又
f’(x)=A，求证：f’(x
0
)=A．
(Ⅲ)设f(x)在(a，b)可导，x
0
∈(a，b)是f’(x)的间断点，求证：x=x
0
是f’(x)的第二类间断点．
问答题
设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：
(Ⅰ)若x
0
∈(a，+∞)，f’(x)≥a＞0(x＞x
0
)，则
设f(x)在(a，+∞)内可导，求证：
(Ⅰ)若x
0
∈(a，+∞)，f’(x)≥a＞0(x＞x
0
)，则
=+∞：
(Ⅱ)若
=+∞．
答案：
正确答案：(Ⅰ)
＞x0，由拉格朗日中值定理，
∈(x0...
＞x0，由拉格朗日中值定理，
∈(x0...
问答题
证明奇次方程a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +…+a 2 x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数a 0 ≠0．
答案：
正确答案：记方程左端为函数f(x)，设a0＞0，只需证明：
=-∞即得结论． 不妨设a<...
=-∞即得结论． 不妨设a<...
问答题
设f(x)在(-∞，+∞)可导，且
设f(x)在(-∞，+∞)可导，且
=A，求证：
∈(-∞，+∞)，使得f’(c)=0．
答案：
正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图4．3)．
若f(x)≡A，显然成立．若f(x)≠A，必存...
若f(x)≡A，显然成立．若f(x)≠A，必存...
问答题
设
设
(Ⅰ)求f’(x)；
(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令x
n
=
，考察f’(x
n
)是正的还是负的，n为非零整数；
(Ⅳ)证明：对
，f(x)在(-δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．
答案：
正确答案：(Ⅰ)当x≠0时按求导法则得
当x=0时按导数定义得
(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x<...
当x=0时按导数定义得
(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x<...
(x∈(-∞，+∞))的最小值．
问答题
将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少
答案：
正确答案：设围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a-x，于是圆的半径r=
，正方形边长
(a-...
，正方形边长
(a-...
问答题
求圆x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线y=x 2 -2所围面积取最小值，并求此最小值．
答案：
正确答案：如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上
点(cosθ，sinθ)处切线的斜率...
点(cosθ，sinθ)处切线的斜率...
问答题
要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V 0 m 3 ．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低
答案：
正确答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m2，水池造价为y，则y=2πr...
