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问答题
设函数z=(1+e y )cosx—ye y ，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．
答案：
正确答案：
解得(x，y)=(2nπ，0) 或 (x，y)=((2n+1)π，一2)， 其中n=0，±1，±2...
解得(x，y)=(2nπ，0) 或 (x，y)=((2n+1)π，一2)， 其中n=0，±1，±2...
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问答题
设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足f" uu (u，v)=f" vv (u，v)，若已知f(x，4x)=x，f’ u (x，4x)=4x 2 ，求f" uu (x，4x)，f" uv (x，4x)与f" vv (x，4x)．
答案：
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=e
2x
z，求f(u)．
问答题
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答案：
正确答案：
解得(x，y)=(2nπ，0) 或 (x，y)=((2n+1)π，一2)， 其中n=0，±1，±2...
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问答题
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答案：
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因在D内y＞0，从而可解出f(x，y)在D内有且只有两...
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问答题
设闭区域D={(x，y)｜x 2 +y 2 ≤y，x≥0}，又f(x，y)为D上的连续函数，且求f(x，y)．
答案：
正确答案：设
f(u，v)dudv=A，在已知等式两边计算区域D上的二重积分(图4．17)，有
f(u，v)dudv=A，在已知等式两边计算区域D上的二重积分(图4．17)，有
∫
0
1
xf
2
(x)dx．∫
0
1
f
3
(x)dx≥∫
0
1
f
3
(x)dx．∫
0
1
f
2
(x)dx，
即要证 I=∫
0
1
f
2
(x)dx．∫
0
1
f
3
(x)dx一∫
0
1
xf
3
(x)dx．∫
0
1
f
2
(x)dx≥0．
x(x+2y)dσ，其中D是由曲线x
2
+4y
2
=2x+8y一1围成的平面区域．
f(x，y)dy等于_______．
问答题
设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分：
(Ⅰ)
设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分：
(Ⅰ)
f(x，y)dy；
(Ⅱ)∫
0
1
dy∫
0
1—y
f(x，y)dx．
答案：
正确答案：(Ⅰ)积分区域D如图4．24所示，可见区域D位于
的扇形中，且极点在D的边界上，D的边界方程为r=c...
的扇形中，且极点在D的边界上，D的边界方程为r=c...
问答题
设x=rcosθ，y=rsinθ，把极坐标系中的累次积分
设x=rcosθ，y=rsinθ，把极坐标系中的累次积分
dp∫
0
2sinθ
f(rcosθ，rsinθ)rdr
改写成直角坐标系中两种积分次序的累次积分．
答案：
正确答案：积分区域D如图4．26所示，可见D由直线x+y=0与圆x2+y2=...
dy，求∫
0
1
xf(x)dx．
问答题
计算累次积分I=∫ 0 1 dx∫ 1 x+1 ydy+∫ 1 2 dx∫ x x+1 ydy+∫ 2 3 dx∫ x 3 ydy．
答案：
正确答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1：2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D...
dxdy，其中D是由y=1，y=x
2
及x=0所围区域(如图4．33)．
，若先对y积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对x积分．
dxdy，其中D是由y=x，y=0，x=1所围成的区域(如图4．34)．
，而D={(xy)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，于是
问答题
计算
计算
(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．
答案：
正确答案：区域D如图4．35，区域D的上边界是方程为(x一a)2+(y一a)2
问答题
计算二重积分
计算二重积分
(x+y)dσ，其中积分区域D是由直线x=0，x=2，y=2与曲线y=
所围成．
答案：
正确答案：积分区域D如图4．36所示，D的不等式表示是D={(x，y)｜0≤x≤2，
≤y≤2}，从而
≤y≤2}，从而
问答题
计算二重积分
计算二重积分
{｜x+y｜一2｜dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，一2≤y≤2}．
答案：
正确答案：因
如图4．37所示，用直线y=一x+2，y=一x将D分成D
1
，D
2
与D
3
，于是可得
如图4．37所示，用直线y=一x+2，y=一x将D分成D
1
，D
2
与D
3
，于是可得
问答题
计算下列二重积分：
(Ⅰ)
计算下列二重积分：
(Ⅰ)
围成的区域；
(Ⅱ)
(x+y)dσ，其中D是由直线y=x，圆x
2
+y
2
=2x以及x轴围成的平面区域．
答案：
正确答案：(Ⅰ)积分域D见图4．38．D的极坐标表示是：0≤0≤
，0≤r≤sin2θ， 于是
(Ⅱ...
，0≤r≤sin2θ， 于是
(Ⅱ...
问答题
计算下列二重积分：
(Ⅰ)
计算下列二重积分：
(Ⅰ)
｜x
2
+y
2
一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；
(Ⅱ)
｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．
答案：
正确答案：(Ⅰ)将积分区域分块，如图4．40．设 D1={(x，y)｜x2+...
问答题
设函数
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计算二重积分
(x，y)dσ，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}．
答案：
正确答案：积分区域D如图4．42所示．不难发现，区域D分别关于x轴和y轴对称，而被积函数关于x和y都是偶函数，从而原积分...
问答题
求下列二重积分：
(Ⅰ)I=
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(Ⅰ)I=
，其中D={(x，y｜0≤x≤1，0≤y≤1}；
(Ⅱ)I=
｜3x+4y｜dxdy，其中D={(x，y)｜x
2
+y
2
≤1}．
答案：
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问答题
设函数f(x)在区间[0，1]上具有连续导数，f(0)=1，且满足
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其中D
t
={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤t一x}(0＜t≤1)．求f(x)的表达式．
答案：
正确答案：积分区域Dt如图4．43所示，计算可得
解微分方程(**)又可得f(t)=
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问答题
计算二重积分
计算二重积分
ye
—(x+y)
dσ，其中D是由直线y=x与y轴在第一象限围成的区域。
答案：
正确答案：无界区域D的左边界是y轴，右边界是y=x，而y的取值范围是0≤y＜+∞(如图4．44)．D的不等式表示： D=...
．
．
