问答题

证明：

答案： [证] 考虑二重积分
分别取D为
D₁：x²+y...

你可能感兴趣的试题

更换下列积分次序：

答案： [解] 由积分的上下限知

由D₁，D_2...

更换下列积分次序：
(1)

(2)

答案： [解] 极坐标系中的二重积分，若先对θ后对ρ进行积分，则应注意如下两点：
(1)积分域D的边界曲线均用...

更换下列积分次序：

答案： [解] 分别写出右边两个积分所确定的不等式组．

由D₁

计算下列二重积分：

∫∫D（x^2-y^2）dxdy,其中D:0≤y≤sinx,0≤x≤π

答案：原式=∫<0,π>dx∫<0,sinx>(x²-y²)dy
=&in...

计算

答案： [解] 因为
不能用有限形式表示出其结果，所以
不能先计算，为了改变积分次序先要写出右边两积分的积分...

更换下列积分次序：

答案： [解] 由
作出其图形，如图所示．将积分域D分成D₁，D₂及D

计算下列二重积分：
D是由直线y=x及抛物线y=x²所围成的区域(如图所示)．

答案： [解] 因为

不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故

设函数f(x)在[0，1]上连续，并设
求

答案： [解] 因为
不能直接计算出来．
所以必须考虑更换积分次序，为此先画出积分域D的草图，如图所...

更换下列积分次序：

答案： [解] 写出确定D的不等式组，并作出其图形，如图所示．

计算
(见图)

答案： [解] 因为
不能刚有限形式表出其结果，所以它不能先积分，为了改变积分次序，先写出右边两积分的积分域所对应的不...

计算
其中D是由x=0，y=0及x+y=1所围成的平面区域．(见图)

答案： [解] 因为积分
都不能用有限形式表示出来，所以所求积分在直角坐标系下无法计算，注意到
因此所求积分...

计算

答案： [解] 等式右边两个积分的积分域分别为(见图)

<...

设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x²+y²=1为外侧，柱面x²+y²=2x为内侧，试求这个柱体的体积．

答案： [解] 由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影，即积分域D如图所示，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便．

求由下列曲面所围成的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．

答案： [解] 显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．
...

计算
D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．

答案： [解] 从被积函数
来看，用极坐标系解题较简单，但从积分域D的形状来看，却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的...

设
D由x+y≤t，x=0及y=0围成，求

答案： [解] 作出f(x，y)及D之图形，如图所示．

<...

计算
其中

答案： [解] 如图所示，

计算下列二重积分：
D：x²+y²≤9．[如图(a)所示]

答案： [解]

求
其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．

答案： [解]

计算下列积分：

答案： [解]

计算下列二重积分：
[如图(b)所示]

答案： [解]

计算
(见图)

答案： [解]

计算广义积分
其中，G为由x≥1，y=x²所确定的区域．

答案： [解] 取D：1≤x≤a，x²≤y≤b，显然当a→+∞，b→+∞时，D→G．于是

设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有

则在D内f(x，y)≡0．

答案： [证] 用反证法．设有一点P₀(x₀，y₀)∈D，而f...

设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：

答案： [证] 如图所示

设f(x)在[a，b]上连续，试证：

答案： [证]

设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明

答案： [证]

类似处理，又有

将①，②相加，...

设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：

答案： [证法一] 辅助函数法

(因为[f(u)g(x)]²

证明：

答案： [证] 考虑二重积分
分别取D为
D₁：x²+y...

设积分区域D是圆环1≤x²+y²≤4，求

答案： [解] 因积分域1≤x²+y²≤4关于x轴，y轴对称，且函数2x^3...

设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求： a的值；

答案： [解] 在极坐标下，

设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足

答案： [解] 对于上一小题的
得

此外，

...