- 搜标题
- 搜题干
- 搜选项
问答题
设f(x)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线x＝0，x＝t，曲线y＝f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
答案：
正确答案：旋转体的体积V＝π∫0tf2(x)dx，侧面...
你可能感兴趣的试题
。
是反常积分．作三角代换x＝sint，则
。
[详解2] 作变换arctanx＝t，则
，则k＝_______．
问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足
(a为常数)，又曲线y＝f(x)与x＝1，y＝0所围的图形S的面积值为2，求函数y＝f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
答案：
正确答案：因为
，当x≠0时，
，求积分得
，又f(x)在点x＝0连续，所以
。...
，当x≠0时，
，求积分得
，又f(x)在点x＝0连续，所以
。...
．
，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积．
问答题
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图1—3—4)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2 000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功(说明：①lN×1m＝1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图1—3—4)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2 000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功(说明：①lN×1m＝1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
答案：
正确答案：[详解1] 建立坐标轴如图1—3—5所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 W＝W1＋W...
问答题
设曲线y＝ax 2 (a＞0，x≥0)与y＝1－x 2 交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y＝ax 2 围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大最大体积是多少
答案：
正确答案：当x≥0时，由
，故直线OA的方程为
，于是旋转体的体积为
从而有
令...
，故直线OA的方程为
，于是旋转体的体积为
从而有
令...
问答题
某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米
某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米
答案：
正确答案：[详解1] 设ρ为水的密度，g为重力加速度．如图1—3—8建立坐标系，则抛物线的方程为 y＝x2
。
问答题
曲线
曲线
与直线x＝0，x＝t(t＞0)及y＝0围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x＝t处的底面积为F(t)．(1)求
的值；(2)计算极限
。
答案：
正确答案：(1)由题意得
于是
。 (2)因F(t)＝πy
2
(f)＝
，所以，
于是
。 (2)因F(t)＝πy
2
(f)＝
，所以，
问答题
在xOy坐标平面上，连续曲线，过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜牢之差等于ax，(常数a＞0)．(1)求l的方程；(2)当l与直线y＝ax所围成平面图形的而积为
在xOy坐标平面上，连续曲线，过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜牢之差等于ax，(常数a＞0)．(1)求l的方程；(2)当l与直线y＝ax所围成平面图形的而积为
时，确定a的值．
答案：
正确答案：(1)设曲线，的方程为y＝f(x)，则由题设可得
，这是一阶线性微分方程，其中
，Q(x)...
，这是一阶线性微分方程，其中
，Q(x)...
问答题
如图1—3—10，C
1
和C
2
分别是
如图1—3—10，C
1
和C
2
分别是
和y＝e
x
的图象，过点(0，1)的曲线C
3
是一单凋增函数的图象．过C
2
上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l
x
和l
y
．记C
1
，C
2
与l
x
所围图形的面积为S
1
(x)；C
2
，C
3
与l
y
所围图彤的面积为S
2
(y)．如果总有S
1
(x)＝S
2
(y)，求曲线C
3
的方程x＝ψ(y)．
答案：
正确答案：有
由题设，得
， 而y＝e
x
，于是
， 两边对y求导得
故所求的函数关系为
。
由题设，得
， 而y＝e
x
，于是
， 两边对y求导得
故所求的函数关系为
。
问答题
设D是位于曲线
设D是位于曲线
(a＞1，0≤x＜＋∞)下方、x轴上方的无界区域．(1)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；(2)当a为何值时，V(a)最小并求此最小值．
答案：
正确答案：(1)
(2)
，得ln(A(ln－1)＝0，即a＝e． 由于a＝e是唯一的驻点，是极小值...
(2)
，得ln(A(ln－1)＝0，即a＝e． 由于a＝e是唯一的驻点，是极小值...
问答题
设非负函数y＝y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y"＋2＝0．当曲线y＝y(x)过原点时，其与直线x＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
答案：
正确答案：解微分方程xy"－y"＋2＝0， 得其通解y＝C1＋2x＋C2x<...
问答题
一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2n，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2n，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
时(如图1—3—15)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m
3
)
答案：
正确答案：建立如图1—3—16所示的直角坐标系．则油罐底面椭圆方程为
油的质量M＝ρV，其中油的体积 V＝S
底
.l． 又
故
油的质量M＝ρV，其中油的体积 V＝S
底
.l． 又
故
问答题
设f(x)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线x＝0，x＝t，曲线y＝f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
答案：
正确答案：旋转体的体积V＝π∫0tf2(x)dx，侧面...
问答题
如图1—3—17，一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x
2
＋y
2
＝2y
如图1—3—17，一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x
2
＋y
2
＝2y
与x
2
＋y
2
＝1
连接而成的．
(1)求容器的体积；
(2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功(长度单位：m，重力加速度为gm／s
2
，水的密度为10
3
kg／m
3
)
答案：
正确答案：(1)旋转体分为体积相等的两部分，于是 容器的体积为
或者
(2)利用微元法所做功的计算也分为两部分：
或者(2)利用微元法所做功的计算也分为两部分：
问答题
过点(0，1)作曲线L：y＝lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
答案：
正确答案：(1)如1—3—18，设切点A的坐标为 (x0，y0)，则曲线y＝...
问答题
设D是由曲线
设D是由曲线
，直线x＝a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，V
x
，V
x
分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V
y
＝10V
x
，求a的值．
答案：
正确答案：由已知条件有
， 因V
y
＝10V
x
，即
。
， 因V
y
＝10V
x
，即
。
问答题
设曲线L的方程为
设曲线L的方程为
(1≤x≤e)．(1)求L的弧长；(2)设D是由曲线L，直线x＝1，x＝e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．
答案：
正确答案：(1)因为
，故L的弧长
。 (2)D的形心的横坐标
，而且
故
。
，故L的弧长。 (2)D的形心的横坐标，而且故。
