问答题

已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．y ₁ =e ^x ，y ₂ =e ^-4x ；

答案： y"+3y"-4y=0；

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解下列微分方程．(Gompertz方程) y"=rye ^-kx ，r和k是常数，k≠0，y| _x=0 =y ₀ ．

答案：记e ^x =exp{x}，

已知f"(x)=1+x ² ，且f(0)=1，求f(x)．

答案：

求
的通解．

答案： y=x+c．

求
满足初始条件y| _x=1 =0的特解．

答案：

设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是
，且该曲线经过点
求曲线y=f(x)；

答案：

解下列微分方程．xy"-ylny=0．

答案： y=e ^cx ．

设f(x)是连续函数，由
所确定，求f(x)．

答案：因f(x)是连续函数，故
可导，由此得到
可导．对
，两端关于x求导，得xf(x)=2x+...

解下列微分方程．ydx+(y-x)dy=0．

答案：本题x和y处于平等地位．
(1)x看作自变量，
是齐次方程，令
则
，对u≠0(...

设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是
，且该曲线经过点
求由曲线y=f(x)，y＝0，x＝1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V _x ．

答案：

设f(x)连续且满足
，求f(x)．

答案：先证f(x)可导．

解下列微分方程y"-5y"+6y=0．

答案： y=c ₁ e ^2x +c ₂ e ^3x ．

已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．y ₁ =e ^x ，y ₂ =e ^-4x ；

答案： y"+3y"-4y=0；

解下列微分方程．(e ^y -1)e ^x dx+(e ^x +1)e ^y dy=0．

答案： (1+e ^x )(1-e ^y )＝c．

解下列微分方程y"+6y"+13y=0．

答案： y=e ^-3x (c ₁ cos2x+c ₂ sin2x)．

已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．y ₁ =e ^2x ，y ₂ =xe ^2x ；

答案： y"-4y"+4y=0；

解下列微分方程．y"=(x+y) ² ．

答案：设x+y=u，方程的解y=-x+tan(x+c)．

设
，其中f(x)为连续函数，求f(x)．

答案：

解下列微分方程

答案：

已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．y ₁ =sin2x，y ₂ =cos2x；

答案： y"+4y=0；

解下列微分方程．y"=(x+y) ^-2 ．

答案： arctan(x+y)=y+c(提示：将y看作自变量)．

解下列微分方程s"+4s"+29s=0，s| _t=0 =0，s"| _t=0 =15．

答案： s=3e ^-2t sin5t．

已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．y ₁ =e ^x sinx，y ₂ =e ^x cosx．

答案： y"-2y"+2y=0．

解下列微分方程．y"+y=e ^-x ，y| _x=0 =5．

答案： y=e ^-x (x+5)．

解下列微分方程4y"+43y"+y=0，y| _x=0 =2，y"| _x=0 =0．

答案：

解下列微分方程y"+6y"+5y=e ^2x ．

答案：

解下列微分方程．

答案： y=x(ln|lnx|+c)．

解下列微分方程x"+x"-2x=8sin2t．

答案：

解下列微分方程．(x ² -1)y"+2xy-cosx=0．

答案：

解下列微分方程y"+y=sinx-cos2x．

答案：

解下列微分方程x"+9x=tsin3t．

答案： x=c ₁ cos3t+c ₂ sin3t-36t(3tcos3t+sin3t)．

解下列微分方程s"-a ² s=t+1．

答案：

解下列微分方程x"+9x=6e ^3t ，x(0)=x"(0)=0．

答案：