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问答题设三阶矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，对应的特征向量依次为
设三阶矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3，对应的特征向量依次为
求A
n
β(n为自然数)．
答案：正确答案：由于Aξi=λiξi，故An
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- 问答题
设矩阵
已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：a的值；答案：正确答案：对线性方程组Ax=β的增广矩阵作初等行变换，有
因为方程组Ax=β有解但不唯一，所以r(A)=r(A... - 问答题
设实对称矩阵
求可逆矩阵P，使P
一1
AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．答案：正确答案：矩阵A的特征多项式为
由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a... - 问答题
设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
答案：正确答案：(1)若A～B，那么存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P - 问答题
设三阶实对称矩阵A的特征值为λ 1 =一1，λ 2 =λ 3 =1，对应于λ 1 的特征向量为
，求A．答案：正确答案：对应于λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量，设为ξ2<... - 问答题
设矩阵
已知线性方程组Ax=β有解但不唯一，试求：正交矩阵Q，使Q
T
AQ为对角矩阵．答案：正确答案：由(1)，有
矩阵A的特征多项式为
故A的特征值为λ1=3，λ - 问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α 1 =(一1，一1，1) T ，α 2 =(1，一2，一1) T ．求A的属于特征值3的特征向量；
答案：正确答案：设A的属于特征值3的特征向量为α3=(x1，x2 - 问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ 1 =λ 2 =6是A的二重特征值．若α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(2，1，1) T ，α 3 =(一1，2，一3) T 都是A的属于特征值6的特征向量．求A的另一特征值和对应的特征向量；
答案：正确答案：由r(A)=2，所以A的另一特征值λ3=0． 设属于λ3=0的特征... - 问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ 1 =λ 2 =6是A的二重特征值．若α 1 =(1，1，0) T ，α 2 =(2，1，1) T ，α 3 =(一1，2，一3) T 都是A的属于特征值6的特征向量．求矩阵A．
答案：正确答案：令矩阵P=(α 1 ，α 2 ，x)，则
- 问答题
设三阶矩阵A的特征值为λ 1 =1，λ 2 =2，λ 3 =3，对应的特征向量依次为
将β用ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性表出；答案：正确答案：设
对此方程组的增广矩阵作初等行变换
得唯一解(2，一2，1)
T
，故有β=ξ
1
一ξ
2
+ξ
3
． - 问答题
设三阶矩阵A的特征值为λ 1 =1，λ 2 =2，λ 3 =3，对应的特征向量依次为
求A
n
β(n为自然数)．答案：正确答案：由于Aξi=λiξi，故An - 问答题
已知3阶实对称矩阵A满足trA=一6，AB=C，其中
求k的值与矩阵A．答案：正确答案：由题设AB=C可知A(1，2，1)T=0，从而λ1=0为A的特征值... - 问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，且
求A的所有特征值与特征向量；答案：正确答案：由题设知
所以，由特征值与特征向量的定义，λ1=1是A的一个特征值，对应的一个... - 问答题
设3阶实对称矩阵A的秩为2，且
求矩阵A．答案：正确答案：由A(α 1 ,α 2 ,α 3 ) =(α 1 ，一α 2 ，0)，有A=( 1 ，一 2 ，0)(α 1 ,α 2 ,α 3 ) 一1
- 问答题
设方阵A满足条件A T A=E，其中A T 是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
答案：正确答案：设x是A的实特征向量(非零)，它所对应的特征值为λ，故有Ax=λx．(Ax)T(Ax)=... - 问答题
没A为n阶矩阵，λ 1 和λ 2 是A的两个不同的特征值，ξ 1 ，ξ 2 分别是A的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，证明ξ 1 +ξ 2 不是A的特征向量．
答案：正确答案：由Aξ1=λ1ξ1，Aξ2 - 问答题
设λ 0 为可逆矩阵A的一个特征值，证明λ 0 ≠0，且
是A的逆矩阵A
一1
的一个特征值．
是A的伴随矩阵A
*
的一个特征值．答案：正确答案：设ξ0≠0是A的对应于特征值λ0的特征向量，则有Aξ0<... - 问答题
设α，β均为三维单位列向量，并且α T β=0，若A=αα T +ββ T ，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与A相似，写出对角矩阵A．
答案：正确答案：因为α，β为单位向量，且αTβ=0，故
的秩为2，从而有x≠0，使
... - 问答题
设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ 1 ，λ 2 ，λ 3 ，对应的特征向量依次为α 1 ,α 2 ,α 3 ，令β=α 1 +α 2 +α 3 ，证明：β，Aβ，A 2 β线性无关．
答案：正确答案：因为Aαi=λiαi(i=1，2，3)，则A... - 问答题
设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．
答案：正确答案：因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使
其中λ1，λ2 - 问答题
证明n阶矩阵
相似．答案：正确答案：设矩阵
显然矩阵A的每行元素之和为n，所以n是A的一个特征值，又A的秩r(A)=1，所以A有n一1个... - 问答题
设A为3阶矩阵，α 1 ,α 2 ,α 3 是线性无关的3维列向量，且满足Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3 ，Aα 2 =2α 2 +α 3 ，Aα 3 =2α 2 +3α 3 ．求矩阵A的特征值；
答案：正确答案：因为α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，... - 问答题
已知矩阵A与B相似，其中
求x与y；答案：正确答案：因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE—B｜，即
整理得 (λ一2)(λ2－xλ... - 问答题
已知矩阵A与B相似，其中
求正交矩阵Q，使得Q
一1
AQ=B．答案：正确答案：由于B是对角矩阵，其特征值为λ1=2，λ2=1，λ3 - 问答题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α 1 =(一1，2，一1) T ，α 2 =(0，一1，1) T 是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；
答案：正确答案：由题设知α1，α2是Ax=0的两个解，所以有Aα1 - 问答题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α 1 =(一1，2，一1) T ，α 2 =(0，一1，1) T 是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A；
答案：正确答案：对α1，α2正交化，令b1=α1<... - 问答题
设3阶方阵A=(α 1 ,α 2 ,α 3 )有3个不同的特征值，且α 3 =α 1 +2α 2 ，试证r(A)=2；
答案：正确答案：由于α3=α1+2α2知r(A)＜3，所以0... - 问答题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α 1 =(一1，2，一1) T ，α 2 =(0，一1，1) T 是线性方程组Ax=0的两个解．求A及
，其中E为3阶单位矩阵．答案：正确答案：因Q T AQ=A，且Q为正交矩阵，故A=QAQ T ．
- 问答题
设3阶方阵A=(α 1 ,α 2 ,α 3 )有3个不同的特征值，且α 3 =α 1 +2α 2 ，试证若α 1 +α 2 +α 3 =β，求Ax=β的通解．
答案：正确答案：由α 1 +2α 2 一α 3 =0得
可知