问答题

求曲线y=2e ^-x (x≥0)与X轴所围成的图形的面积．

答案： [解] 所围成的面积为

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答案： [解]

由

得

故

计算定积分

答案： [解]

计算积分

答案： [解]

计算积分

答案： [解]

证明：
并用此式计算

答案： [证明]

设

答案： [解]

设

答案： [解]

由

设f"(x)=arcsin(x-1) ² 且f(0)=0，求

答案： [解] 由f(0)=0得

则

证明：
其中a＞0为常数．

答案： [证明]

则

设f(u)是连续函数，证明：
并求

答案： [证明]

设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，|f(x)-f(y)|≤|arctanx-arctany|，又f(1)=0，证明：

答案： [证明] 由

得

设f(x)在(-∞，+∞)上是导数连续的有界函数，|f(x)-f"(x)|≤1，证明：|f(x)|≤1.

答案： [证明] 因为f(x)有界，所以

于是

即

两边取绝对值得

证明：

答案： [证明]

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，证明：

答案： [证明] 令

因为f"(x)＜0，所以f"(x)单调递减，从而φ"(x)＞...

已知f(x)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)=0，证明：
其中

答案： [证明] 由泰勒公式得

其中ξ位于1与x之间，
积分得

则

计算曲线
的弧长．

答案： [解]

设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求

答案： [解]

则

求曲线y=2e ^-x (x≥0)与X轴所围成的图形的面积．

答案： [解] 所围成的面积为

设f(x)是(-∞，+∞)上的连续非负函数，且
求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

答案： [解]

由

得

取x=π，则

从而

在[0，π]上的平均值为

设抛物线y=ax ² +bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y=ax ² +bx+c与抛物线y=-x ² +2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．

答案： [解] 由y=ax²+bx+c过点(0，0)及(1，2)得
则y=ax²

设
由x=0，L及y=sint围成面积S ₁ (t)；由y=sint，L及
围成面积S ₂ (t)，其中

(1)t取何值时，S(t)=S ₁ (t)+S ₂ (t)取最小值
(2)t取何值时，S(t)=S ₁ (t)+S ₂ (t)取最大值

答案： [解]

由

(1)当

时，S(t)最小，且最小面积为

(2)当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1.

求曲线y=xe ^-x (x≥0)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积．

答案： [解]

设由y轴、y=x ² (x≥0)及y=a(0＜a＜1)所围成的平面图形及由y=a，y=x ² 及x=1所围成的平面图形都绕x轴旋转，所得旋转体的体积相等，求a．

答案： [解]

由

设曲线
与曲线
在点(x ₀ ，y ₀ )处有公共的切线，求：常数a及切点坐标；

答案： [解] 由

，切点坐标为(e ² ，1)．

设曲线
与曲线
在点(x ₀ ，y ₀ )处有公共的切线，求：两曲线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积．

答案： [解] 所求体积为V=V ₁ +V ₂ ，
其中

故

设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：

答案： [证明] 令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，

设f(x)在[0，1]上可导，且|f"(x)|＜M，证明：

答案： [证明]

由

得

同理

故

设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f"(x)≥0，证明：对任意正整数n，有

答案： [证明] 因为f"(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)-f(0)≥0.
由

设
求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．

答案： [解] 当-1＜x≤0时，

当x＞0时，

即

由

故所求的面积为