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问答题
计算下列反常积分(广义积分)的值：(Ⅰ)
计算下列反常积分(广义积分)的值：(Ⅰ)
(Ⅱ)
dx；(Ⅲ)
答案：
正确答案：(Ⅰ)由于x2－2x=(x－1)2－1，所以为去掉被积函数中的根号...
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问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
f(x)dx=f(b)．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f′(ξ)=0．
答案：
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点c使得
这就说明f(c...
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问答题
求下列变限积分函数的导数，其中f(x)连续．(Ⅰ)F(x)=
求下列变限积分函数的导数，其中f(x)连续．(Ⅰ)F(x)=
，求F′(x)； (Ⅱ)F(x)=
，求F″(x)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)注意到积分的上、下限都是x的复合函数，由变限积分求导公式可得
(Ⅱ)令g(t)=
f...
(Ⅱ)令g(t)=
f...
=arctan1－arctan(－1)=
当n为奇数时，
当n为偶数时，
dx；(Ⅱ)
dx；(Ⅲ)
dx．
，cosx｝dx；(Ⅱ)
f(x－1)dx，其中f(x)=
(a＞0，b＞0)．
问答题
设函数f(x)=
设函数f(x)=
并记F(x)=
f(t)dt(0≤x≤2)，试求F(x)及∫f(x)dx．
答案：
正确答案：根据牛顿-莱布尼兹公式，当0≤x≤1时，有
当1＜x≤2时，
∫f(x)dx=F(x)+C．
当1＜x≤2时，∫f(x)dx=F(x)+C．
(Ⅲ)
dx．
(Ⅱ)
(Ⅲ)
dx； (Ⅱ)
(a＞0)； (Ⅲ)∫x(1－
dx．
dx．
分别令
=v，则分别有
于是 原式=
+C．
(Ⅱ)
(a＞0)．
(Ⅱ)
问答题
求下列不定积分：
(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；
(Ⅱ)∫x
2
sin
2
xdx；
(Ⅲ)
求下列不定积分：
(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；
(Ⅱ)∫x
2
sin
2
xdx；
(Ⅲ)
dx．
答案：
正确答案：(Ⅰ)按照上表第二栏所讲的方法，有 ∫arcsinx.arccosxdx
xarcsinx.arcc...
xarcsinx.arcc...
sin
n
xdx和J
n
=
cos
n
xdx，n=0，1，2，3，…．
dx．
(Ⅱ)
dx．
dx； (Ⅱ)J=
dx．
(Ⅱ)
dx； (Ⅱ)J=
dx．
，故
(Ⅱ)由于
，故作平移变换：x－
=t，，并记c=
，则
其中
dx；
(Ⅱ) J=
sin
2
xarctane
x
dx．
(Ⅱ)
问答题
求一块铅直平板如图3．1所示在某种液体(比重为γ)中所受的压力．
求一块铅直平板如图3．1所示在某种液体(比重为γ)中所受的压力．
答案：
正确答案：液体中深度为h处所受的压强为p=hγ，从深度为a到x之间平板所受的压力记为P(x)，任取[x，x+△x]上小横...
问答题
求下列平面曲线的弧长：
(Ⅰ)曲线9y
2
=x(x－3)
2
(y≥0)位于x=0到x=3之间的一段；
(Ⅱ)曲线
求下列平面曲线的弧长：
(Ⅰ)曲线9y
2
=x(x－3)
2
(y≥0)位于x=0到x=3之间的一段；
(Ⅱ)曲线
=1(a＞0，b＞0，a≠b)．
答案：
正确答案：(Ⅰ)先求y′与
：将9y2=x(x－3)2两边对x求导...
：将9y2=x(x－3)2两边对x求导...
问答题
求下列曲线的曲率或曲率半径： (Ⅰ)求x=t－ln(1+t 2 )，y=arctant在t=2处的曲率； (Ⅱ)求y=lnx在点(1，0)处的曲率半径．
答案：
正确答案：(Ⅰ)利用由参数方程确定的函数的求导法则，得
于是所求曲率为K=
(Ⅱ)先求
，...
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(Ⅱ)先求
，...
问答题
已知抛物线y=ax
2
+bx+c经过点P(1，2)，且在该点与圆
已知抛物线y=ax
2
+bx+c经过点P(1，2)，且在该点与圆
=
相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c．
答案：
正确答案：圆
的半径为
，所以在圆上任何一点的曲率为
．由于点P(1，2)是下半圆上的一点...
的半径为
，所以在圆上任何一点的曲率为
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问答题
设函数y=f(x)在[a，b](a＞0)连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及戈轴围成的平面图形(如图3．12)绕y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式．
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答案：
正确答案：用微元法．任取[a，b]上小区间[x，x+dx]，相应得到小曲边梯形，它绕y轴旋转所成立体的体积(见图3．12...
问答题
设两曲线y=a
设两曲线y=a
(a＞0)与y=ln
在(x
0
，y
0
)处有公切线(如图3．13)，求这两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V．
答案：
正确答案：先求a值与切点坐标． y1=a
由两曲线在(x0，y
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≤y≤a)绕y轴旋转一周所得球冠的面积．
直接由旋转面的面积计算公式得
问答题
有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力．
答案：
正确答案：取坐标系如图3．17所示，椭圆方程为
=1．分割区间[0，a]，在小区间[x，x+dx]对应的小横条...
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的大小．
