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，其中
是沿椭圆
=1正向从A(a，0)到(0，b)的一段弧，a≠1．
你可能感兴趣的试题
- 问答题
设r=(x，y，z)，r=｜r｜，r≠0时f(r)有连续的导数，求下列各量：(Ⅰ)rot[f(r)r]；(Ⅱ)div gradf(r)(r≠0时f(r)有二阶连续导数)．
答案：正确答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)直接由梯度与散度的计算公式得
- 问答题
求I=
dy，其中C
+
是以A(1，1)，B(2，2)和E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线．答案：正确答案：记I=
Pdx+Qdy，则
记D为三角形区域ABE，则直接由格林公式得
用先y后... - 问答题
设曲线L：x 2 +y 2 +x+y=0，取逆时针方向，证明： I=∫ L －ysinx 2 dx+xcosy 2 dy＜
答案：正确答案： L是圆周：
它围成区域D．用格林公式
其中D关于直线y=x对称．
cosx
2
dσ． - 问答题
设φ(y)有连续导数，L为半圆周：
(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分
I=∫
L
[φ(y)cosx－y]dx+[φ′(y)sinx－1]dy．答案：正确答案：若要用格林公式求非闭曲线L上的线积分∫LPdx+Qdy时，先要添加定向辅助线L... - 问答题
求I=
dy，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．答案：正确答案：令P=
，易计算得
若R＜1(见图10．6)，在L所围的有界闭区域D上，P，Q... - 问答题
求曲面积分I=
x
2
dydz+y
2
dzdx+z
2
dxdy，其中S是长方体Ω：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤C的表面外侧．答案：正确答案：直接用高斯公式I=
(x+y+z)dxdydz． 化三重积分为累次积分：记长方体分别在yz平面，zx... - 问答题
求I=
，其中∑为上半球z=
的上侧，a＞0为常数．答案：正确答案：添加一块有向曲面S：z=0 (x2+y2≤a2 - 问答题
求曲线积分I=∫ L (y 2 +z 2 )dx+(z 2 +x 2 )dy+(x 2 +y 2 )dz，其中L是球面x 2 +y 2 +z 2 =2bx与柱面x 2 +y 2 =2ax(b＞a＞0)的交线(z≥O)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10．9)．
答案：正确答案：若写出L的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算． 记L所围的球面部分为∑，按L的方向与右手法则... - 问答题
设D 0 是单连通区域，点M 0 ∈D 0 ，D=D 0 ＼{M 0 }(即D是单连通区域D 0 除去一个点M 0 )，若p(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且
((x，y)∈D)，问：
(Ⅰ)∫
L
Pdx+Qdy是否一定在D上与路径无关；
(Ⅱ)若又存在一条环绕M
0
的分段光滑闭曲线C
0
使得∫
C0
Pdx+Qdy=0，∫
L
Pdx+Qdy)是否一定在D上与路径无关．答案：正确答案：(Ⅰ)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫LPdX+Qdy在D上与路径无关．例如：积... - 问答题
判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关： (Ⅰ)
，区域D：y＞0；
(Ⅱ)
，区域D：x
2
+y
2
＞0．答案：正确答案：(Ⅰ)这是单连通区域，只需验证
是否成立．依题设有
又
则该积分在D上与路径无关... - 问答题
设(P(x，y)，Q(x，y))=
，n为常数，问∫
L
Pdx+Qdy在区域D={(x，y)｜(x，y)∈R
2
，(x，y)≠(0，0)}是否与路径无关．答案：正确答案：先验证
是否成立．
因此，当n≠1时积分不是与路径无关． 当n=1时虽有
(x，... - 问答题
设Pdx+Qdy=
dy，求u(x，y)，使du=Pdx+Qdy．答案：正确答案：不定积分法．由
，对y积分，得u=
+C(x) (注意代替积分常数是x的任意函数C(x))... - 问答题
设f(s)在(－∞，+∞)内有连续的导数，计算
其中L为从点a(3，
)到B(1，2)的直线段．答案：正确答案：先验算积分是否与路径无关．若是，便可选择适当的积分路径，使积分化简． 令P(x，y)=
[y - 问答题
计算曲线积分I=
，其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R≠1)，取逆时针方向．答案：正确答案：设R＜1，则I=∫LPdx+Qdy=
dxdy=0． 设R＞1，取ε＞0充分小... - 问答题
求I=
，其中S是椭球面
=1，取外侧．答案：正确答案：作以原点为心，ε＞0为半径的小球面Sε，ε＞0充分小使Sε位于S所... - 问答题
求曲面积分I=
xz
2
dydz－sinxdxdy，其中S为曲线
(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．答案：正确答案：在S∪S1∪S2围成的区域Ω上应用高斯公式，因边界取内法向，故 - 问答题
求曲线积分I=∫ L 2yzdx+(2z－z 2 )dy+(y 2 +2xy+3y)dz，其中L为闭曲线
从原点向L看去，L沿顺时针方向．答案：正确答案：用斯托克斯公式．平面x+y+z=
上L围成的平面区域记为∑，按右手法则，法向量n朝上．且n= - 问答题
下面连续可微的向量函数{P(x，y)，Q(x，y)}在指定的区域D上是否有原函数u(x，y)(du=Pdx+Qdy或gradu={P，Q})．若有，求出原函数．{P，Q}=
，D={(x，y)｜y＞－x}．答案：正确答案：先验算
在D上是否恒成立．
则
，(x，y)∈D．因D是单连通区域，则存在原函数... - 问答题
选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x 4 +y 2 ) λ i－x 2 (x 4 +y 2 ) λ j在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度： (Ⅰ)D={(x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式： (Ⅱ)D={(x，y)｜x 2 +y 2 ＞0}．
答案：正确答案：记A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件<... - 问答题
计算曲线积分I=
dy，其中L是从点A(－a，0)经上半椭圆
=1(y≥0)到点B(a，0)的弧段．答案：正确答案：设C是从点A(－a，0)经上半圆x2+y2=a2 - 问答题
设Q(x，y)在Dxy平面有一阶连续偏导数，积分∫ L 2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．
t
恒有
2xydx+Q(x，y)dy， (*)
求Q(x，y)．答案：正确答案：首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得
(2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x... - 问答题
设曲线积分 ∮ L 2[xφ(y)+ψ(y)]dx+[x 2 ψ(y)+2xy 2 －2xφ(y)]dy=0，其中L为任意一条平面分段光滑闭曲线，φ(y)，ψ(y)是连续可微的函数． (Ⅰ)若φ(0)=－2，ψ(0)=1，试确定函数φ(y)与ψ(y)； (Ⅱ)计算沿L从点O(0，0)到M(π，
)的曲线积分．答案：正确答案：(Ⅰ)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为∮LPdx+Qdy，由单连通区域上... - 问答题
设有数量函数u(x，y，z)及向量函数F(x，y，z)={P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)}，其中P，Q，R，u在Ω上有连续的二阶偏导数，证明：(Ⅰ)divgradu=
=△u；(Ⅱ)div(rotF)=0；(Ⅲ)rot(gradu)=0．答案：正确答案：由梯度，散度及旋度的计算公式得到： (Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
- 问答题
设S是上半空间z＞0中任意光滑闭曲面，S围成区域Ω，函数u=ρw(ρ)(ρ=
在上半空间有连续的二阶偏导数，满足
求w(ρ)．答案：正确答案：即求u(ρ)．由高斯公式得
由Ω的任意性得
=0 (z＞0)． (*) 注意u只依赖于ρ=... - 问答题
I=∫ L [y 2 －2xysin(x 2 )]dx+cos(x 2 )dy，其中L为椭圆
=1的右半部分，从A(0，－b)到B(0，b)．答案：正确答案：I=∫ L y 2 dx+∫ L ydcos(x 2 )+cos(x 2 )dy．
，如图10．1，则
- 问答题
I=
dy，其中L是椭圆周
=1．取逆时针方向．答案：正确答案：将I表成I=∫LPdx+Qdy，则
不能在L围成的区域上用格林公式，取圆周(如... - 问答题
I=∫ L (e x siny－my－y)dx+(e x cosy－mx)dy，其中L：
t从0到π，a＞0．答案：正确答案：将积分I分解成I=I1+I2，其中 I1=∫... - 问答题
I=
dzdx，其中∑为由曲面y=x
2
+z
2
与平面y=1，y=2所围立体表面的外侧．答案：正确答案：∑围成区域Ω，直接用高斯公式得I=
dV． 作柱坐标变换
D(y)：0≤r≤
，0≤θ≤2π，
- 问答题
I=
(z+1)dxdy+xydzdx，其中∑
1
为圆柱面x
2
+y
2
=a
2
上x≥0，0≤z≤1部分，法向量与x轴正向成锐角，∑
2
为Oxy平面上半圆域x
2
+y
2
≤a
2
，x≥0部分，法向量与z轴正向相反．答案：正确答案：∑1∪∑2不封闭，添加辅助面后用高斯公式． ∑3 - 问答题
I=
(x
2
－y
2
)dydz+(y
2
－z
2
)dzdx+(z
2
－x
2
)dxdy，S是
=1(z≥0)的上侧．答案：正确答案：用高斯公式来计算．曲面不封闭，添加辅助面． S1：z=0，
≤1，取下侧．S与... - 问答题
I=∫ L yzdx+3zxdy－xydz，其中L是曲线
且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．答案：正确答案：用斯托克斯公式． 把平面3y－z+1=0被柱面x2+y2=4所截邵... - 问答题
I=∫ Г (x 2 －yz)dx+(y 2 －xz)dy+(z 2 －xy)dz，其中Г是沿螺线x=acosθ，y=asinθ，z=
θ，从A(a，0，0)到B(a，0，h)的有向曲线．答案：正确答案：把积分表成I=∫ГPdx+Qdy+Rdz． 考察F=(P，Q，R)的旋度
若Г... - 问答题
判断下列曲线积分在指定区域D是否与路径无关，为什么 (Ⅰ)∫ L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面． (Ⅱ)
，D={(x，y)｜全平面除去－∞＜x≤0，y=0}．答案：正确答案：(Ⅰ)f(x2+y2)(xdx+ydy)=f(x2 - 问答题
设φ(x)在(0，+∞)有连续导数，φ(π)=1．试确定φ(x)，使积分I=
dx+φ(x)dy在x＞0与路径无关，并求当A，B分别为(1，1)，(π，π)时的积分值．答案：正确答案：记I=
Pdx+Qdy，在单连通区域D：x＞0上该积分与路径无关
两边乘μ(x... - 问答题
选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)｜x 2 +y 2 ≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中P=
(x
2
+2xy+by
2
)．答案：正确答案：先确定a，b，使
，(x，y)∈D．
因D不是单连通的，
在D成立不足以保证Pd... - 问答题
已知E=
，其中r={x，y，z}，r=｜r｜，q为常数，求divE与rotE．答案：正确答案： E=
{x，y，z}，
(Ⅰ)P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式：
dxdy=∫
C
(Pcosα+Qcosβ)ds，
其中n=(cosα，cosβ)是C的单位外法向量．
(Ⅱ)设u(x，y)，v(x，y)在D有连续的二阶偏导数，求证：
(10．7)
(Ⅲ)设u(x，y)在D有连续的二阶偏导数且满足
求证：u(x，y)=0((x，y)∈D)．
，其中A(0，－1)，B(1，0)，
为单位圆在第四象限部分．
，D={(x，y)｜x＞0}．
