问答题

已知矩阵A＝
有3个线性无关的特征向量，λ＝2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P ^-1 AP成为对角矩阵．

答案：正确答案：由r(2E－A)＝1，

χ＝2，y＝－2；A的特征值为2，2，6．

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已知向量α＝(1，k，1) ^T 是A＝
的伴随矩阵A ^* 的一个特征向量，试求k的值及与α对应的特征值λ．

答案：正确答案：已知A^*α＝λα，两端左乘A，并利用AA^*＝｜A｜E＝4E，得λA...

设矩阵A＝
，｜A｜＝－1，A的伴随矩阵A ^* 有一个特征值为λ ₀ ，属于λ ₀ 的一个特征向量为α＝(－1，－1，1) ^T 求a，b，c和λ ₀ 的值．

答案：正确答案：已知A^*α＝λ₀α，两端左乘A，并利用AA^*...

设3阶矩阵A的特征值为λ ₁ ＝1，λ ₂ ＝2，λ ₃ ＝3，对应的特征向量依次为
(1)将β用ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 线性表出； (2)求A ⁿ β(n为正整数)．

答案：正确答案：(1)设β＝χ₁ξ₁＋χ₂ξ₂

已知ξ＝
是矩阵A＝
的一个特征向量． (1)试确定a，b的值及特征向量考所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵说明理由．

答案：正确答案：
(2)A＝
的特征值为λ₁＝λ₂＝λ

设λ ₁ ，λ ₂ 是n阶矩阵A的两个不同特征值，χ ₁ 、χ ₂ 分别是属于λ ₁ 、λ ₂ 的特征向量．证明：χ ₁ ＋χ ₂ 不是A的特征向量．

答案：正确答案：用反证法：若χ₁＋χ₂是A的属于特征值λ₀的...

设A＝
3个线性无关的特征向量，求χ与y满足的关系．

答案：正确答案：A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝－1，由题...

设3阶矩阵A的特征值为－1，1，1，对应的特征向量分别为α ₁ ＝(1，－1，1) ^T ，α ₂ ＝(1，0，－1) ^T ，a ₃ (1，2，－4) ^T ，求A ¹⁰⁰ ．

答案：正确答案：因α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性无关，故A相似于对角阵，令P＝[α ₁ α ₂ α ₃ ]，则有

设3阶矩阵A与对角阵D＝
相似，证明：矩阵C＝(A－λ ₁ E)(A－λ ₂ E)(A－λ ₃ E)＝O．

答案：正确答案：由条件知，存在可逆矩阵P，使A＝

，故

设矩阵
相似． (1)求a，b的值； (2)求一个可逆矩阵P，使p ^-1 AP＝B．

答案：正确答案：(1)由条件有｜λE－A｜＝｜λE－B｜，即 (λ－2)[λ²－(3＋α)λ＋3a－3]...

设A＝
，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P ^-1 AP成为对角矩阵并求出P和相应的对角矩阵．

答案：正确答案：由｜λE－A｜＝
＝(λ＋1)²(λ－1)＝0 得A的全部特征值为λ_...

已知矩阵A＝
有3个线性无关的特征向量，λ＝2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P ^-1 AP成为对角矩阵．

答案：正确答案：由r(2E－A)＝1，

χ＝2，y＝－2；A的特征值为2，2，6．

下列矩阵是否相似于对角矩阵为什么

答案：正确答案：(1)是，因该方阵的特征值λ₁＝1，λ₂＝2，λ₃

设n阶矩阵A≠O，存在某正整数m，使A ^m ＝O，证明：A必不相似于对角矩阵．

答案：正确答案：可用反证法：设λ为A的任一特征值，χ为对应的特征向量，则有Aχ＝λχ，
A²χ...

设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A ² α线性无关，且满足3Aα－2A ² α－A ³ α＝0，令矩阵P＝[α Aα A ² α]， (1)求矩阵B，使AP＝PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

答案：正确答案：(1)AP＝A[α Aα A²α]＝[Aα A²α A^3...

设A为3阶矩阵，｜A｜＝6，｜A＋E｜＝｜A－2E｜＝｜A＋3E｜＝0，试判断矩阵(2A) ^* 是否相似于对角矩阵，其中(2A) ^* 是(2A)的伴随矩阵．

答案：正确答案：由条件有，｜E－A｜＝(－1)³｜E＋A｜＝0，｜2E－A｜＝(－1)³

设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ ₁ ，λ ₂ ，…，λ _n ，证明： (1)λ _i ≠－1(i＝1，2，…，n)； (2)AB＝BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．

答案：正确答案：(1)即证｜－E－A｜≠0，或｜E＋A｜≠0或E＋A可逆，这可由AB＝A－B
(A＋E)(E－B)＝...

设
已知线性方程组Aχ＝β有解但解不唯一．试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使Q ^T AQ为对角矩阵．

答案：正确答案：

设矩阵
，B＝P ^-1 A ^* P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A ^* 为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

答案：正确答案：B＋2E＝
的特征值为9，9，3，属于λ₁＝λ₂＝9的全...

设矩阵A＝
的特征值之和为1，特征值之积为－12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P ^-1 AP＝A为对角矩阵．

答案：正确答案：由λ₁＋λ₂＋λ₃＝a＋2＋(－2)＝1，λ...

设矩阵A＝
可逆，向量α＝
是矩阵A ^* 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中A ^* 是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．

答案：正确答案：由A可逆知A^*可逆，于是有λ≠0，｜A｜≠0．由题设，有A^*α＝λ...

设α＝(a ₁ ，a ₂ ，…，a _n ) ^T 是R ⁿ 中的非零向量，方阵A＝αα ^T ．(1)证明：对正整数m，存在常数t，使A ^m ＝t ^m-1 A，并求出t；(2)求一个可逆矩阵P，使P ^-1 AP＝∧为对角矩阵．

答案：正确答案：(1)A^m＝(αα^T)(αα^T)…(αα

设n阶矩阵
(1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P ^-1 AP为对角矩阵．

答案：正确答案：(1)1°当b≠0时，｜λE－A｜＝
＝[λ－1－(n－1)b][λ－(1－b)]^n-1...

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ ₁ ＝λ ₂ ＝6是A的二重特征值，若α ₁ ＝(1，1，0) ^T ，α ₂ ＝(2，1，1) ^T ，α ₃ ＝(－1，2，－3) ^T 都是A的属于特征值6的特征向量． (1)求A的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵A．

答案：正确答案：(1)因为λ₁＝λ₂＝6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性...

设A为三阶矩阵，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 是线性无关的三维列向量，且满足 Aα ₁ ＝α ₁ ＋α ₂ ＋α ₃ ，Aα ₂ ＝2α ₂ ＋α ₃ ，Aα ₃ ＝2α ₂ ＋3α ₃ (Ⅰ)求矩阵B，使得A(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ )＝(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ )B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵P，使得p ^-1 AP为对角矩阵．

答案：正确答案：(Ⅰ)由题设条件，有 A(α₁，α₂，α₃)...

设λ为可逆方阵A的特征值，且χ为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)
为A ^-1 的特征值，且χ为对应的特征向量；(3)
为A ^* 的特征值，且χ为对应的特征向量．

答案：正确答案：若λ＝0，则有｜0E－A｜＝0，即(－1)ⁿ｜A｜＝0，
｜A｜＝0，这与A可...

设3阶方阵A的特征值为2，－1，0，对应的特征向量分别为α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，若B＝A ³ －2A ² ＋4E，试求B ^-1 的特征值与特征向量．

答案：正确答案：B＝f(A)，其中f(χ)＝χ³－2χ²＋4．由Aα_1<...