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问答题

已知A=
，证明A与B合同．

答案： 正确答案：构造二次型xTAx=a1x12
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问答题

设A，B均是n阶正定矩阵，判断A+B的正定性．
答案： 正确答案：(用定义) 因为A，B均是正定矩阵，故A，B都是对称矩阵，那么(A+B)T=A...
问答题

已知二次型x T Ax是正定二次型，x=Cy是坐标变换，证明二次型y T By是正定二次型，其中B=C T AC．
答案： 正确答案：
≠0，设x0=Cy0，由矩阵C可逆知x0
问答题

证明二次型x T Ax正定的充分必要条件是A的特征值全大于0．
答案： 正确答案：对二次型xTAx，存在正交变换x=Qy化其为标准形λ1y...
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已知A是n阶可逆矩阵，证明A T A是对称、正定矩阵．
答案： 正确答案：(与E合同) 因为(ATA)T=AT(A
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已知A，A-E都是n阶实对称正定矩阵，证明E-A -1 是正定矩阵．
答案： 正确答案：(特征值法) 由(E-A-1)T=ET-(A...
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设A是m×n矩阵，B=λE+A T A，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．
答案： 正确答案：(定义法) 因为BT=(AE+ATA)T=A...
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设D=
为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算P T DP，其中P=
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-C T A -1 C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
答案： 正确答案：(Ⅰ)因为PT=
(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵D与矩阵M=
合同，又因D是正...
问答题

设A是n阶正定矩阵，α 1 ，α 2 ，…，α n 是n维非零列向量，且α i T Aα j =0(i≠j)，证明α 1 ，α 2 ，…，α m 线性无关．
答案： 正确答案：如k1α1+k2α2+...
问答题

设A是n阶实对称矩阵，AB+B T A是正定矩阵，证明A可逆．
答案： 正确答案：
≠0，由于AB+BTA正定，故总有 xT(AB+B
问答题

已知A=
，证明A与B合同．
答案： 正确答案：构造二次型xTAx=a1x12
问答题

设矩阵A=
有一个特征值是3，求γ，并求可逆矩阵P，使(AP) T (AP)为对角矩阵．
答案： 正确答案：因为3是A的特征值，故｜3E-A｜=8(3-y-1)=0，解出y=2．那么
由于AT
问答题

求正交变换化二次型x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 2 x 3 -4x 1 x 3 为标准形．
答案： 正确答案：二次型矩阵A=
，由特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ+3)(λ-3)2
问答题

二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 -6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换．
答案： 正确答案：二次型矩阵A=
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)=2，则有 ｜A｜=24(c-3)=0
问答题

设A是n阶实对称矩阵，若对任意的乃维列向量α恒有α T Aα=0，证明A=0．
答案： 正确答案：
维向量口恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…...
问答题

若A是n阶正定矩阵，证明A -1 ，A * 也是正定矩阵．
答案： 正确答案：因A正定，所以AT=A．那么(A-1)T=(...
问答题

设A是m×n矩阵，r(A)=n，证明A T A是正定矩阵．
答案： 正确答案：由(ATA)T=AT(AT
问答题

设A是n阶正定矩阵，证明｜A+2E｜＞2 n ．
答案： 正确答案：设矩阵A的特征值是λ1，λ2，…，λn．因为...
问答题

已知A=
答案： 正确答案：令C 1 =
，C=C 1 C 2 ，则C是可逆矩阵，且
则A≈B．由于A正定，故B正定，从而曰的顺序主子式△＞0．
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