问答题

求微分方程yy""+(y") ² =0的满足初始条件y(0)=1，y"(0)=
的特解．

答案：正确答案：由yy""+(y")²=0得(yy")"=0，从而yy"=C₁， ...

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在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．

答案：正确答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m₁(t)，m₂...

某人的食量是2500卡／天(1卡=4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．

答案：正确答案：输入率为2500卡／天，输出率为(200+16w)，其中w为体重，根据题意得

一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间

答案：正确答案：设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段...

质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s ² ，问运动开始1min后的速度是多少

答案：正确答案：由题意得
，因为当t=10时，u=50，F=39．2，所以k=196，从而F=
，分离变量...

设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．

答案：正确答案：根据题意得

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f"(x)+
求f(x)．

答案：正确答案：因为
两边对x求导得f""(x)+3f"(x)+2f(x)=e^-x，由λ

高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足z=h(t)-
，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0．9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间．(其中长度单位是cm，时间单位为h)

答案：正确答案：t时刻雪堆体积V=
侧面积S=
，根据题意得
因为h(0)=130，所以C=13...

早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的

答案：正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，...

设A从原点出发，以固定速度v ₀ 沿y轴正向行驶，B从(x ₀ ，0)出发(x ₀ ＜0)，以始终指向点A的固定速度v ₁ 朝A追去，求B的轨迹方程．

答案：正确答案：设t时刻B点的位置为M(x，y)，则
两边积分，得
由y(x₀)=0...

飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v ₀ (m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为k _x (kg.s ² ／m ² )，在垂直方向的比例系数为k _y (kg.s ² ／m ² )．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．

答案：正确答案：水平方向的空气阻力R_x=k_xv²，垂直方向的...

设函数y=y(x)满足△y=
△x+o(△x)，且y(0)=0，求函数y=y(x)．

答案：正确答案：由

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=e ^a f(b)+e ^b f(a)成立，又f"(0)=1，求f(x)．

答案：正确答案：取a=0，b=0得f(0)=0．
通解为f(x)=[∫e^x.e^∫dx...

设当u＞0时f(u)一阶连续可导，且f(1)=0，又二元函数z=f(e ^x -e ^y )满足
=1，求f(u)．

答案：正确答案：

由

，f(u)=lnu+C，由f(1)=0得C=0，故f(u)=lnu．

求微分方程
=x ² +y ² 满足条件y｜ _x=e =2e的特解．

答案：正确答案：由

将x=e，u=2代入得C=1，所求的特解为y ² =2x ² lnx+2x ² ．

微分方程
=y(lny-lnx)的通解．

答案：正确答案：

解得ln-1=Cx，于是u=e ^Cx+1 ，故通解为y=xe ^Cx+1 ．

求微分方程
的通解．

答案：正确答案：通解为

求微分方程xy"+(1-x)y=e _2x (x＞0)的满足
的特解．

答案：正确答案：原方程化为

求微分方程y"+ycosx=(lnx)e _-sinx 的通解．

答案：正确答案：通解为y=[∫(lnx)e^-sinx.e^∫cosxdxdx+C]e...

求微分方程
的满足初始条件y(1)=0的特解．

答案：正确答案：原方程化为
=lnx．通解为
=Cx²-x(1+lnx)，由y(...

求微分方程(1-x ² )y""-xy"=0的满足初始条件y(0)-0，y"(0)=1的特解．

答案：正确答案：由(1-x²)y""-xy"=0的
由y"(0)=1得C₁

已知微分方程y"+y=f(x)，其中f(x)=
，求该微分方程的解y=y(x)满足y(0)=0．

答案：正确答案：当0≤x≤1时，y"+y=2的通解为 y=C₁e^-x+2；当x＞...

解方程(3x ² +2)y""=6xy"，已知其解与e ^x -1(x→0)为等价无穷小．

答案：正确答案：由(3x²+2)y""=6xy"得
从而y"=C₁(3x...

求微分方程yy""+(y") ² =0的满足初始条件y(0)=1，y"(0)=
的特解．

答案：正确答案：由yy""+(y")²=0得(yy")"=0，从而yy"=C₁， ...

求微分方程y""-y=4cosx+e ^x 的通解．

答案：正确答案：特征方程为λ²-1=0，特征值为λ₁=-1，λ₂

设连续函数f(x)满足：
[f(x)+xf(xt)]dt与x无关，求f(x)．

答案：

正确答案：
即f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce ^-x ．

设f(x)二阶可导，且
=x+1，求f(x)．

答案：正确答案：

f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce ^-x ，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e ^-x ．

设

答案：

设函数y=y(x)满足微分方程y""-3y"+2y=2e ^x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x ² -x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．

答案：正确答案：特征方程为λ²-3λ+2=0，特征值为λ₁=1，λ₂