问答题

设A=(a _ij ) _n×n 是非零矩阵，且|A|中每个元素a _ij 与其代数余子式A _ij 相等．证明：|A|≠0．

答案：正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则|A|=a_k1A

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设A是正交矩阵，且|A|＜0．证明：|E+A|=0．

答案：正确答案：因为A是正交矩阵，所以A^TA=E，两边取行列式得|A|²=1，因为...

设A=(a _ij ) _n×n 是非零矩阵，且|A|中每个元素a _ij 与其代数余子式A _ij 相等．证明：|A|≠0．

答案：正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则|A|=a_k1A

计算D _2n =

答案：正确答案：D _2n =a ² D _2n一2 —b ² D _2n一2 =(a ² —b ² )D _2n一2 =…=(a ² —b ² ) ⁿ ．

计算
(a _i ≠0，i=1，2，…，n)．

答案：正确答案：
=a₁a₂…a_n一1+a

设
求A _k1 +A _k2 +…+A _kn ．

答案：正确答案：

|A|=(一1) ⁿ⁺¹ 1n!．

得A ^* =|A|A ^一1 =(一1) ⁿ⁺¹ n!A ^一1 ，所以A _k1 +A _k2 +…+A _kn =

设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ ₁ =1，λ ₂ =2为A的两个特征值，|B|=2，求

答案：正确答案：因为A～B，所以A，B特征值相同，设另一特征值为λ₃，由|B|=λ₁

设A=E一αα ^T ，其中α为n维非零列向量．证明：A ² =A的充分必要条件是α为单位向量；

答案：正确答案：令α^Tα=k，则A²=(E一αα^T)(E一α...

设A=E一αα ^T ，其中α为n维非零列向量．证明：当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

答案：正确答案：当α是单位向量时，由A²=A得r(A)+r(E—A)=n，因为E一A=αα^T<...

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
计算PQ；

答案：正确答案：

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，
证明PQ可逆的充分必要条件是α ^T A ^一1 α≠b．

答案：正确答案：|PQ|+|A| ² (b一a ^T A ^一1 α)，PQ可逆的充分必要条件是|PQ|≠0，即α ^T A ¹ α≠b．

设矩阵A满足(2E一C ^一1 B)A ^T =C ^一1 ，且
求矩阵A．

答案：正确答案：由(2E—C¹B)A^T=C^一1，得A

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答案：正确答案：r(A)=r(αβ^T+βα^T)≤r(αβ^T)...

设α是n维单位列向量，A=E一αα ^T ．证明：r(A)＜n．

答案：正确答案：A²=(E一αα^T)(E一αα^T)=E一2α...

三元二次型f=X ^T AX经过正交变换化为标准形f=y ₁ ² +y ₂ ² 一2y ₃ ² ，且A ^* +2E的非零特征值对应的特征向量为α ₁ =
求此二次型．

答案：正确答案：因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²