问答题

某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中，每次取出一个后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若等于4，则中二等奖；若等于3，则中三等奖．求中奖的概率．

答案：解：“中一等奖”的情况有2种，其概率

，
“中二等奖”的情况有3种，其概率

，
则由互斥事件的加法公式得，
“中奖”的概率

．

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先化简
，然后从
的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．

答案：解：

，
又因为

，且x≠0，x≠±2，
所以取x=1，则原式=

．(取x=-1亦可)

在解方程(x ² -x)2-4(x ² -x)-12=0时，通常设x ² -x=y，使原方程变为y ² -4y-12=0①，再进一步求解．填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了法，体现了的数学思想；

答案：解：换元转化(或化归)

某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中，每次取出一个后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若等于4，则中二等奖；若等于3，则中三等奖．求中三等奖的概率；

答案：解：设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，“中一等奖”的事件为C，“中二等奖”的事件为D．
因为“中三...

在解方程(x ² -x)2-4(x ² -x)-12=0时，通常设x ² -x=y，使原方程变为y ² -4y-12=0①，再进一步求解．在实数范围内求出原方程的解．

答案：解：设x²-x=y，则原方程可化为y²-4y-12=0，
解得y<...

某商场举行抽奖活动，从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中，每次取出一个后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若等于4，则中二等奖；若等于3，则中三等奖．求中奖的概率．

答案：解：“中一等奖”的情况有2种，其概率

，
“中二等奖”的情况有3种，其概率

，
则由互斥事件的加法公式得，
“中奖”的概率

．

已知{a _n }是公差不为零的等差数列，a ₁ =7，且a ₃ ，a ₆ ，a ₁₀ 成等比数列．求数列{a _n }前20项的和S ₂₀ ．

答案：解：设数列{a_n}的公差为d，则由a₁=7，且a₃，a...

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．请判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

答案：解：CD与⊙O相切．
理由：连接OD，如下图所示．

因为∠AED=45°，所...

如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

求证：△ABM∽△MCN；

答案：证明：因为四边形ABCD是正方形，所以∠B=∠C=90°，∠BAM+∠AMB=90°．
因为AM⊥MN，所以∠...

如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大并求出最大值．

答案：解：由上一小题的证明可知，△ABM∽△MCN，
所以
，即
，
所以
...

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
．

证明：平面PBE⊥平面PAB；

答案：证明：如图所示，连接BD．

因为四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，所以△BCD...

已知函数
．求函数f(x)的最小正周期；

答案：证明：因为

所以f(x)的最小正周期

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
．

求二面角A-BE-P的大小．

答案：由上一小题知，BE⊥平面PAB，PB
平面PAB，所以PB⊥BE，
又AB⊥BE，所以∠PBA是二面...

已知函数
．令
，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．

答案：证明：由上一小题可知，

所以

又

所以函数g(x)是偶函数．

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点．求椭圆C的方程；

答案：解：由题意设椭圆C的方程为
，且可知左焦点为F"(-2，0)．
又|AF|=3，
，

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点．是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案：解：假设存在符合题意的直线l，其方程为
，
则由
得3x²+3tx+...