设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

答案：正确答案：充分性 r(A)＜n，AX=0有非零解，将非零解X组成B，则B≠0，且有AB=0．必要性若AB=0，其中B...

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答案：正确答案：用反证法．设α₁，α₂，…，α_s，β中任意s...
问答题
已知向量组α ₁ ，α ₂ ，…，α _s-1 (s＞1)线性无关，β _i =α _i +tα _i+1 ，i=1，2，…，s．证明：向量组β ₁ ，β ₂ ，…，β _s 线性无关．
答案：正确答案：设有数k₁，k₂，…，k_s，使得 k
问答题
设A是3×3矩阵，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 是三维列向量，且线性无关，已知 Aα ₁ =α ₂ +α ₃ ，Aα ₂ =α ₁ +α ₃ ，Aα ₃ =α ₁ +α ₂ ，(1)证明：Aα ₁ ，Aα ₂ ，Aα ₃ 线性无关； (2)求|A|．
答案：正确答案：(1)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[α
问答题
已知A是N阶矩阵，α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 是n维线性无关向量组，若Aα ₁ ，Aα ₂ ，…，Aα _s 线性相关，证明：A不可逆．
答案：正确答案：因Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，故存在...
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设n阶矩阵A的秩为1，试证： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在常数μ，使得A ^k =μ ^k-1 A
答案：正确答案：(1)将A以列分块，则r(A)=r(α₁，α₂，…，α_n...
问答题
向量组β ₁ ，β ₂ ，…，β _t 可由向量组α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性表出，设表出关系为
若α ₁ ，α ₂ ，…，α _s 线性无关，证明：r(β ₁ ，β ₂ ，…，β _t )=r(C)．
答案：正确答案：B=[β₁，β₂，…，β_t]=[α_...
问答题
设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．
答案：正确答案：由于对任何x均有AX=0，取X=[1，0，…，0]^T，由
得a_11<...
问答题
设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×n矩阵，已知A的行向量组的秩为r，证明： r(B)≥r+m一s．
答案：正确答案：因(A的行向量的个数s)一(A的线性无关行向量的个数r(A))≥(B的行向量个数m)一(B的线性无关的行向量的...
问答题
设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A ^T A)=r(A)；(2)A ^T AX=A ^T b一定有解．
答案：正确答案：(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，...
问答题
设线性线性方程组
λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．
答案：正确答案：方程组是齐次线性方程组
当λ≠一2且λ≠2时，唯一零解；当λ=2时，有无穷多解，其解为 k
问答题
已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为X=k ₁ [1，0，2，3] ^T +k ₂ [0，1，一1，1] ^T ，求原方程组．
答案：正确答案：以原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的基础解系即是原方程组系数矩阵的...
问答题
已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ ₁ =[1，0，1，1] ^T ，ξ ₂ =[2，1，0，一1] ^T ，ξ ₃ =[0，2，1，一1] ^T ，添加两个方程
后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．
答案：正确答案：方程组(I)的通解为 k₁ξ₁+k₂ξ
问答题
已知线性方程组(I)
及线性方程组(Ⅱ)的基础解系 ξ ₁ =[一3，7，2，0] ^T ，ξ ₂ =[一1，一2，0，1] ^T ．求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．
答案：正确答案：方程组(Ⅱ)的通解为 k₁ξ₁+k₂ξ
问答题
已知线性方程组
(1)a，b为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．
答案：正确答案：
(1)a=1，b=3时，r(A)=r(A|b)，方程组有解； (2)导出组基础解系为：ξ_...
问答题
已知η ₁ =[一3，2，0] ^T ，η ₂ =[一1，0，一2] ^T 是线性方程组
的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．
答案：正确答案：对应齐次方程有解 ξ=η₁一η₂=[-2，2，2]^T
问答题
已知线性方程组
的通解为[2，1，0，1] ^T +k[1，一1，2，0] ^T ．记 α _j =[a _1j ，a _2j ，a _3j ，a _4j ] ^T ，j=1，2，…，5．问：(1)α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₅ 线性表出，说明理由； (2)α ₄ 能否由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 线性表出，说明理由．
答案：正确答案：(1)α₄能由α₁，α₂，α₃
问答题
已知4阶方阵A=[α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ]，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 均为4维列向量，其中α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性无关，α ₁ =2α ₂ 一α ₃ ，如果β=α ₁ +α ₂ +α ₃ +α ₄ ，求线性方程组AX=β的通解．
答案：正确答案：由α₁=2α₂一α₃及α₂

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设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

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后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

已知线性方程组(I)
及线性方程组(Ⅱ)的基础解系 ξ ₁ =[一3，7，2，0] ^T ，ξ ₂ =[一1，一2，0，1] ^T ．求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

已知线性方程组
(1)a，b为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．

已知η ₁ =[一3，2，0] ^T ，η ₂ =[一1，0，一2] ^T 是线性方程组
的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．

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