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问答题设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
答案：[证明] 因为
且f(a)=f(b)=0，所以
两式相加得
．
且f(a)=f(b)=0，所以
两式相加得
．
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- 问答题
答案：解 令
，当0≤x≤1时，
，当1＜x≤2时，
，则
- 问答题
设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，
．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
答案：[证明] 令
因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)=... - 问答题
设f(x)在(-a，a)(a＞0)内连续，且f"(0)=2．证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得
；答案：[证明] 令
，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=... - 问答题
设f(x)连续，
，求
．
答案：解 由
得
，
两边求导得
- 问答题
设
．证明：当n
π
≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；答案：[证明] 当nπ≤x＜(n+1)π时，
，
，则2n≤S(x)＜2(n+1)． - 问答题
设f(x)在(-a，a)(a＞0)内连续，且f"(0)=2．求
．答案：解 令
，由
，得
于是
- 问答题
设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：
．
答案：[证明] 对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，
因为f(x)≥0，所以
， - 问答题
设
．求
．答案：解 由nπ≤x＜(n+1)π，得
从而
，根据夹逼定理得
． - 问答题
设
，证明：
．
答案：[证明]
同理
．因为tannx，tann+2 - 问答题
设f(x)有界，且f"(x)连续，对任意的x∈(-∞，+∞)有|f(x)+f"(x)|≤1．证明：|f(x)|≤1．
答案：[证明] 令φ(x)=exf(x)，则φ"(x)=ex[f(x)+f"(x)... - 问答题
设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|．证明：
．
答案：[证明] 因为
，
所以
- 问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：
答案：[证明] 因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)-m≥0，f(x)-M≤0，从而
，于是 - 问答题
设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：
．
答案：[证明] 方法一 令
，
因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以
，
而 - 问答题
设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少．证明：
答案：[证明]
，
当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得
，
同理 - 问答题
设f(a)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，
．
答案：[证明] 方法一
其中ξ1∈[0，k]，ξ2 - 问答题
设f"(x)在[0，1]上连续且|f"(x)|≤M．证明：
．
答案：[证明]
因为
同理
于是
- 问答题
设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，令
证明：
答案：[证明] 由微分中值定理得f(x)-f(0)=f"(ξ)x，其中ξ介于0与x之间，
因为f(0)=0，所以|f... - 问答题
设f"(x)在[0，1]上连续，且f(1)-f(0)=1．证明：
．
答案：[证明] 由
，
得
，即
． - 问答题
设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：
答案：[证明] 由f(a)=0，得f(x)-f(a)=f(x)=
，由柯西不等式得
积分得
- 问答题
设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
答案：[证明] 因为
且f(a)=f(b)=0，所以
两式相加得
． - 问答题
设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
答案：[证明] 因为f(x)在[a，b]上连续，所以|f(x)|在[a，b]上连续，令
．
根据积分中值定... - 问答题
设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0．证明：
．
答案：[证明] 由泰勒公式，得
，其中ξ介于
与t之间，从而
，积分得
． - 问答题
设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
答案：[证明] 由泰勒公式得
，其中ξ介于x与
之间，因为f"(x)≥0，所以有
，两边积分得<... - 问答题
设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：
答案：[证明] 令g(t)=lnt(t＞0)，
，再令
，则有g(t)≤g(x0)+... - 问答题
设直线y=ax与抛物线y=x 2 所围成的图形面积为S 1 ，它们与直线x=1所围成的图形面积为S 2 ，且a＜1．确定a，使S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；
答案：解 直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2)．
... - 问答题
求曲线y=3-|x 2 -1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．
答案：解 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y=3旋转所成的体积．
当x≥0时，
对[x，x+... - 问答题
求椭圆
与椭圆
所围成的公共部分的面积．
答案：解 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面积．
令
则
- 问答题
设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴一周所得旋转曲面为S．求旋转曲面的方程；
答案：解
，直线AB的方程为
．
设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其... - 问答题
计算
答案：解
，令-sinx=u，则
- 问答题
设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴一周所得旋转曲面为S．求曲面S介于平面z=0与z=1之间的体积．
答案：解 对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为
A(z)=π(x 2 +y 2 )=π(2z 2 -2z+1)
于是
． - 问答题
计算
答案：解
- 问答题
计算定积分
答案：解 方法一 令
则
方法二 令x=tant，则
- 问答题
证明：
，其中a＞0为常数．
答案：[证明] 因为
所以
- 问答题
证明：当x≥0时，
的最大值不超过
答案：[证明] 当x＞0时，令f"(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x... - 问答题
设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且
．
证明：
答案：[证明] 因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f"(x0)(x-... - 问答题
令f(x)=x-[x]，求极限
．
答案：解 因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数)，所以f(x)=x-[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0... - 问答题
为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗中漏掉．现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少
答案：解 设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000(J)．设拉...
．
．