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问答题
设函数f(x)满足xf"(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：曲线y=f(x)；
答案：
解 由xf"(x)-2f(x)=-x
f(x)-
=-1
f(x)=x+cx2<...
f(x)-
=-1
f(x)=x+cx2<...
你可能感兴趣的试题
的解，其中a＞0；
，
．
．
．
问答题
设有微分方程y"-2y=φ(x)，其中
设有微分方程y"-2y=φ(x)，其中
在(-∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(-∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．
答案：
解 当x＜1时，y"-2y=2的通解为y=C1e2x-1，由y(0)=0得C...
问答题
设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
答案：
解 令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f"(x)+x2y，因为[xy(x+...
化为y关于t的方程，并求原方程的通解．
，求f(x)．
问答题
设二阶常系数线性微分方程y"+ay"+by=ce x 有特解y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数a，b，C，并求该方程的通解．
答案：
解 将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得
(4+2a+b)e<...
(4+2a+b)e<...
且二阶连续可导，又
，求f(x)．
．求f"(x)；
问答题
设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且
设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且
．证明：当x≥0时，e
-x
≤f(x)≤1．
答案：
[证明] 当x≥0时，因为f"(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．
令g(x)=f(x)-e...
令g(x)=f(x)-e...
问答题
设y=y(x)二阶可导，且y"≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
设y=y(x)二阶可导，且y"≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(1)将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，
的解．
答案：
解
代入原方程得y"-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r
代入原方程得y"-y=sinx，特征方程为r2-1=0，特征根为r
，且
求f(x，y)．
问答题
设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为
设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为
．若
，求：f(x)；
答案：
解 由题设知，
，两边对a求导，得
令
，即
，由
，得c=-1，所以
，两边对a求导，得
令
，即
，由
，得c=-1，所以
问答题
设函数f(x)满足xf"(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：曲线y=f(x)；
答案：
解 由xf"(x)-2f(x)=-x
f(x)-
=-1
f(x)=x+cx2<...
f(x)-
=-1
f(x)=x+cx2<...
问答题
设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为
设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为
．若
，求：f(x)的极值．
答案：
解 因为
令f"(x)=0，得
又因为
，所以
为极大值．
令f"(x)=0，得
又因为
，所以
为极大值．
问答题
设函数f(x)满足xf"(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．
答案：
解
，f"(0)=1，曲线
在原点处的切线方程为y=x，则
，f"(0)=1，曲线在原点处的切线方程为y=x，则
问答题
位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与
位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与
及1+y"
2
之积成反比，比例系数为
，求y=y(x)．
答案：
解 根据题意得
令y"=p，则有
因为p(2)=0，所以C1
令y"=p，则有
因为p(2)=0，所以C1
问答题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为
，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．
答案：
解 因为曲线是上凸的，所以y"＜0，由题设得
令y"=p，
，则有
令y"=p，
，则有
问答题
飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 ＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；
答案：
解 设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得
，即
，两边对x求导数得
．...
，即
，两边对x求导数得
．...
问答题
飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 ＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．
答案：
解 令
则
解得
进一步解得
故轨迹方程为
则
解得
进一步解得
故轨迹方程为
问答题
细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．
答案：
解 设t时刻细菌总数为S，则有
，S(0)=100，S(24)=400，
所以
，S(12)=100
ln2
=200．
，S(0)=100，S(24)=400，
所以
，S(12)=100
ln2
=200．
问答题
某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为
某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为
，流入湖泊内不含A的水量为
，流出湖的水量为
．设1999年底湖中A的含量为5m
0
，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过
．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m
0
以内(设湖中A的浓度是均匀的)
答案：
解 设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为
，任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染...
，任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染...
问答题
在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g/L，用管子以2L/rmn的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L/min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．
答案：
解 设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)...
问答题
某人的食量是2500卡/天，其中1200卡/天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡/千克/天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．
答案：
解 输入率为2500卡/天，输出率为(1200+16w)，其中w为体重，根据题意得
，
由
，得
，代入初始条件得
，
于是
．
，
由
，得
，代入初始条件得
，
于是
．
问答题
一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间
答案：
解 设链条的线密度为p，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为...
问答题
质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s．外力为39.2cm/s 2 ，问运动开始1min后的速度是多少
答案：
解 由题意得
，因为当t=10时，v=50，F=39.2，所以k=196，
从而
，又因为...
，因为当t=10时，v=50，F=39.2，所以k=196，
从而
，又因为...
问答题
设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
答案：
解 根据题意得
所以
分离变量得
积分得
，或者
，
由y(0)=1，得C=1，所以
，解得
．
所以
分离变量得
积分得
，或者
，
由y(0)=1，得C=1，所以
，解得
．
，求f(x)．
问答题
早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的
答案：
解 设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开...
问答题
高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足
高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足
，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0.9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)
答案：
解 t时刻雪堆体积
侧面积
根据题意得
，整理得
，解得...
侧面积
根据题意得
，整理得
，解得...
问答题
设A从原点出发，以固定速度v 0 沿y轴正向行驶，B从(x 0 ，0)出发(x 0 ＜0)，以始终指向点A的固定速度v 1 朝A追去，求B的轨迹方程．
答案：
解 设t时刻B点的位置为M(x，y)，则
，即
...
，即
...
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