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问答题证明：arctanx=arcsin
证明：arctanx=arcsin
(x∈(－∞，+∞))．
答案：正确答案：令f(x)=arctanx—arcsin
，则
f(x)为常数．又f(0)=0
f(x)≡0，x∈(一∞，+∞)．
，则f(x)为常数．又f(0)=0f(x)≡0，x∈(一∞，+∞)．
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- 问答题
求函数
的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点．答案：正确答案：定义域：x≠1． (Ⅰ)由
单调增区间(0，1)；单调减区间(一∞，0)∪(1，+∞)；... - 问答题
证明：arctanx=arcsin
(x∈(－∞，+∞))．答案：正确答案：令f(x)=arctanx—arcsin，则f(x)为常数．又f(0)=0f(x)≡0，x∈(一∞，+∞)． - 问答题
设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对
x(a≤x≤b)满足f″(x)+g(x)f′(x)－f(x)=0．求证：f(x)=0 (x∈[a，b])．答案：正确答案：若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值． 不妨设f(x0<... - 问答题
设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且
∈(a，b)．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．答案：正确答案：因为
所以存在常数c，使得
=c (
x∈(a，b))，即f(z)=cg(z) (
x∈(a，b))． - 问答题
设P(x)在[0，+∞)连续且为负值，y=y(x)在[0，+∞)连续，在(0，+∞)满足y′+P(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．
答案：正确答案：由y′+P(x)y＞0(x＞0)
y(x)在[0，+∞)连续，
y(x)＞0(... - 问答题
作函数y=
的图形．答案：正确答案：定义域：x＞0． (Ⅰ)由y′=
由y″=
(Ⅱ)渐近线：只有间断点x=0．由... - 问答题
设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f′(ξ)＞0．
答案：正确答案：若不然
x∈(a，b)，f′(x)≤0
f(x)在[a，b]单调不增
x∈[a，... - 问答题
证明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0为常数)至少有一个正根不超过a+b．
答案：正确答案：考察f(x)=x一asinx一b，即证它在(0，a+b]有零点．显然，f(x)在[0，a+b]连续，且 f(0... - 问答题
求证：e x +e －x +2cosx=5恰有两个根．
答案：正确答案：即证f(x)=ex+e－x+2cosx－5在(－∞，+∞)恰有两个... - 问答题
设当x＞0时，方程kx+
=1有且仅有一个解，求k的取值范围．答案：正确答案：设f(x)=kx+
－1(x＞0)，则 f′(x)=k一
＞0． (Ⅰ)当k≤0时，f′(... - 问答题
讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln 2 x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．
答案：正确答案：令f(x)=2x+ln2x+k－2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为... - 问答题
证明：x－
x
2
＜ln(1+x)＜x(
x＞0)．答案：正确答案：(Ⅰ)令F(x)=x－ln(1+x)
F′(x)=1一
＞0(x＞0)． 又F(0)=0，... - 问答题
设f(x)在[1，+∞)可导，
[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的
子区间上不恒等，又f(1)≤M，其中后k，M为常数，求证：f(x)＜
(x＞1)．答案：正确答案：已知xf′(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)
子区间上不恒为零，要证f(x)x... - 问答题
设0＜x 1 ＜x 2 ，f(x)在[x 1 ，x 2 ]可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少
一个c，使得
答案：正确答案：记k=
[ex1f(x2)－e - 问答题
设f(x)在[0，1]可导且f(1)=2
f(x)dx，求证：
ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)=2ξf(ξ)．答案：正确答案：令F(x)=
f(x)，则F(x)在[0，1]可导，且
因此，由罗尔定理，
(0... - 问答题
设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得
答案：正确答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使
① 令g(x)=x... - 问答题
已知以2π为周期的周期函数f(x)在(－∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx－1) 2 f(x)，证明
=x
0
∈(2π，
)使得F″(x
0
)=0．答案：正确答案：显然F(0)=F
=0，于是由罗尔定理知，
x1∈(0，
... - 问答题
设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f′(0)=0，f″(0)存在．求证：
答案：正确答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(一1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，... - 问答题
设有参数方程
0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．答案：正确答案：(Ⅰ)
=3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0， - 问答题
设f(x)=nx(1－x) n (n为自然数)， (Ⅰ)求
f(x)；
(Ⅱ)求证：
f(x)＜
．答案：正确答案：(Ⅰ)先求f′(x)=n(1一x)n－1[1一(n+1)x]
0，得唯一驻点x... - 问答题
设f(x)在(a，+∞)内可导．求证： (Ⅰ)若x 0 ∈(a，+∞)，f′(x)≥α＞0(x＞x 0 )，则
f(x)=+∞；
(Ⅱ)若
f′(x)=A＞0，则
f(x)=+∞．答案：正确答案：(Ⅰ)
x＞x0，由拉格朗日中值定理，
ξ∈(x0 - 问答题
证明奇次方程a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +…+a 2n x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数a 0 ≠0．
答案：正确答案：不妨设a0＞0．令f(x)=a0x2n+1+... - 问答题
设f(x)在(－∞，+∞)可导，且
f(x)=A，求证：
c∈(－∞，+∞)，使得f′(c) =0．答案：正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图4．3)．
若f(x)≡A，显然成立．若f(x) - 问答题
设
(Ⅰ)求f′(x)；
(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令x
n
=
，考察f′(x
0
)是正的还是负的，n为非零整数；
(Ⅳ)证明：对
δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．答案：正确答案：(Ⅰ)当x≠0时按求导法则得
当x=0时按导数定义得
(Ⅱ)由于f(x)一f(0)=－x<... - 问答题
求函数f(x)=
(x∈(－∞，+∞))的最小值．答案：正确答案：先求导数并得驻点．
再求
由于f(x)在(一∞，+∞)内可导，且有唯一的极小值点x= - 问答题
将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少
答案：正确答案：围成圆的铁丝长为x，则围成正方形的铁丝长为a一x，于是圆的半径r=
，正方形边长
，x∈(... - 问答题
求从点A(10，0)到抛物线y 2 =4x之最短距离．
答案：正确答案：抛物线上点P(
，y)到A(10，0)的距离的平方(如图4．4)为
问题是求d(y)在[0... - 问答题
求圆x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线y=x 2 －2所围面积取最小值，并求此最小值．
答案：正确答案：如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上
点(cosθ，sinθ)处切线的斜率... - 问答题
要造一个圆柱形无盖水池，使其容积为V 0 m 3 ．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低
答案：正确答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m2，水池造价为y，则y=2πr...
=A(
=A)，求证：f′
+
(x
0
)=A(f′
－
(x
0
)=A)．
(Ⅱ)设f(x)在(x
0
－δ，x
0
+δ)连续，在(x
0
－δ，x
0
+δ)／{x
0
}可导，又
f′(x)=A，求证：f′(x
0
)=A．
(Ⅲ)设f(x)在(a，b)可导，x
0
∈(a，b)是f′(x)的间断点，求证：x=x
0
是f′(x)的第二类间断点．