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问答题

设一抛物线y=ax 2 +bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．

答案： [解] 因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．
因为a＜0，所以b＞0...
题目列表

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问答题

设f(x)在区间[0，1]上可导，
．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf"(ξ)=0．

答案： [证明] 令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得
，其中c∈
，即φ(c)...
问答题

设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且
．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f"(ξ)=0．

答案： [证明] 令
，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F"(x
问答题

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f"(x)|≤2．证明：

答案： [证明] 由微分中值定理得f(x)-f(0)=f"(ξ1)x，其中0＜ξ1＜...
问答题

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案： [证明] 令
，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(a...
问答题

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

答案： [证明] 令
，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取
，由泰勒公式得

问答题

求曲线
与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．

答案： [解]

取
，dV y =2πxcosxdx，
故
问答题

求曲线y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．

答案： [解] 区域面积为
问答题

设L：y=e -x (x≥0)．求由y=e -x 、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴一周而得的旋转体的体积V(a)．
答案： [解]
问答题

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
答案： [证明] S1(c)=cf(c)，
，即证明S1(c)=S
问答题

求圆x 2 +y 2 =2y内位于抛物线y=x 2 上方部分的面积．

答案： [解] 由
得
所围成的面积为

问答题

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．设f(x)在(0，1)内可导，且
，证明(1)中的c是唯一的．
答案： [证明] 令
，因为h"(x)=2f(x)+xf"(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)...
问答题

设L：y=e -x (x≥0)．设
，求c．
答案： [解] 由
，
得
，解得
．
问答题

求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积．

答案： [解] 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令
则双纽线的极坐标形式为
，第一卦限的面积为
问答题

抛物线y 2 =2x把圆x 2 +y 2 =8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．

答案： [解] 设左边的面积为S 1 ，右边的面积为S 2 ，
由
得

则

由
得
问答题

设C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C 1 ，C 2 之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y=x 2 ，C 1 的方程是
，求曲线C 2 的方程．

答案： [解] 由题设C:y=x2，
，令C2:x=f(y)，P点坐标为(...
问答题

设曲线y=a+x-x 3 ，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．

答案： [解] 设曲线y=a+x-x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得
，移...
问答题

曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．

答案： [解] 取[x，x+dx]
[1，2]，dv=2πx|(x-1)(x-2)|dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，


问答题

设平面图形D由x 2 +y 2 ≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．

答案： [解] 取[x，x+dx]
[0，1]，则





问答题

求曲线y=3-|x 2 -1|与x轴围成的封闭图形绕y=3旋转所得的旋转体的体积．

答案： [解] 取[x，x+dx]
[0，1]，
dv1=π[32
问答题

求由曲线y=4-x 2 与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．

答案： [解] 方法一 取[x，x+dx]
[-2，2]，则dV=2π(3-x)(4-x2)dx...
问答题

曲线y=x 2 (x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为
，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．

答案： [解] 设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为y-a2=2a(x-...
问答题

求摆线
(a＞0)的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

答案： [解]
问答题

设曲线
与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V 1 (a)，绕y轴旋转所得立体体积为V 2 (a)，问a为何值时，V 1 (a)+V 2 (a)最大，并求最大值．

答案： [解] 曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为
，对任意的[x，x...
问答题

设一抛物线y=ax 2 +bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．

答案： [解] 因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．
因为a＜0，所以b＞0...
问答题

设直线y=kx与曲线
所围平面图形为D 1 ，它们与直线x=1围成平面图形为D 2 ．求k，使得D 1 与D 2 分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V 1 与V 2 之和最小，并求最小值；
答案： [解] 由方程组
得直线与曲线交点为


则
令
因为V"(k)＞0，所以函数V(k)当
时取最小值，且最小值为
．
问答题

求摆线
(0≤t≤2π)的长度．

答案： [解]
，则
．
问答题

设直线y=kx与曲线
所围平面图形为D 1 ，它们与直线x=1围成平面图形为D 2 ．求此时的D 1 +D 2 ．
答案： [解] 因为
，所以此时
．
问答题

设曲线
，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．

答案： [解] 设切点为
，则过原点的切线方程为

将
代入切线方程，得a=2，
问答题

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

答案： [解] 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取[x，x+dx]
[0，2R]，由于球的密度与水的密...
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