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问答题
设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在c∈(0，1)，使得f(c)=1－2c；
答案：
正确答案：令φ(x)=f(x)－1+2x，φ(0)=－1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)...
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问答题
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问答题
设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．
答案：
正确答案：因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M， 由6m≤2f(0)+f(1)+...
a
n
=A，证明：数列{a
n
}有界．
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤1／2|f(x)|．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．
答案：
正确答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上连续，故|f(x...
问答题
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导，且|f
(4)
(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x
0
的点x，有
|f"(x
0
)－
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导，且|f
(4)
(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x
0
的点x，有
|f"(x
0
)－
|≤M／12(x－x
0
)
2
，
其中x’为x关于x
0
的对称点．
答案：
正确答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0
问答题
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n
1／f’(ξ
i
)=1．
答案：
正确答案：令h=
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a...
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a...
问答题
设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫ 0 1 f(x)dx．
答案：
正确答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]1上取到最大值M和最小值m，对f(x)－f...
问答题
设f(x)=∫
1
x
设f(x)=∫
1
x
，求∫
0
1
x
2
f(x)dx．
答案：
正确答案：∫
0
1
x
2
f(x)dx=1／3∫
0
1
f(x)d(x
3
)=1／3x
3
f(x)|
0
1
－
∫
0
1
x
3
f’(x)dx
∫
0
1
x
3
f’(x)dx
证明：直线L
1
，L
2
为异面直线；
问答题
设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由e
xyz
=∫
xy
z
h(xy+z－t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求
设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由e
xyz
=∫
xy
z
h(xy+z－t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求
答案：
正确答案：∫
xy
z
h(xy+z－t)dt
∫
z
xy
h(u)(－du)=∫
xy
z
h(u)du，
=xf’
1
－yf’
2
．
∫
z
xy
h(u)(－du)=∫
xy
z
h(u)du，
=xf’
1
－yf’
2
．
求平行于L
1
，L
2
且与它们等距离的平面．
问答题
设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=t
k
f(x，y，z)．证明：
x
设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=t
k
f(x，y，z)．证明：
x
=kf(x，y，z)．
答案：
正确答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求...
问答题
计算二重积分
计算二重积分
(x
2
+4x+y
2
)dxdy，其中D是曲线(x
2
+y
2
)
2
=a
2
(x
2
－y
2
)围成的区域．
答案：
正确答案：根据对称性
(x
2
+4x+y
2
)dxdy=4
(x
2
+y
2
)dxdy，其中D
1
是D位于第一卦限的区域．
(x
2
+4x+y
2
)dxdy=4
(x
2
+y
2
)dxdy，其中D
1
是D位于第一卦限的区域．
问答题
设空间曲线C由立体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面与平面x+y+z=3／2所截而成，计算|∮ C (z 2 －y 2 )dx+(x 2 －z 2 )dy+(y 2 －x 2 )dz|．
答案：
正确答案：取平面x+y+z=3／2上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=
x
n
的收敛域．
问答题
设函数f(x，y)可微，
设函数f(x，y)可微，
=－f(x，y)(0，π／2)=1，且
}=e
coty
，求f(x，y)．
答案：
正确答案：
解得f(0，y)=Csiny． 由f(0，π／2)=1，得C=1，即f(0，y)=siny． 又由...
解得f(0，y)=Csiny． 由f(0，π／2)=1，得C=1，即f(0，y)=siny． 又由...
问答题
飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 ＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；
答案：
正确答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得
所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为
所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为
