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问答题设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：
设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：
答案：[证]如图所示．
故I=2I 1 ．
故I=2I 1 ．
你可能感兴趣的试题
- 问答题
计算
其中D为下列双纽线所围成：(x2+y2)2=2(x2-y2)；
答案：[解]由D的方程(x2+y2)2=2(x2<... - 问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]由积分的上下限知
由D 1 ，D 2 作出D的图形，见图1．于是
图1
故
- 问答题
计算
其中D为下列双纽线所围成：(x
2
+y
2
)
2
=2xy．答案：[解]D：(x2+y2)2=2xy关于原点对称，又 - 问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]分别写出右边两个积分所确定的不等式组．
由D 1 ，D 2 作出D的图形如图2所示，于是
图2
- 问答题
计算下列二重积分：
D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图1所示)．
图1答案：[解]因为∫e -y2 dy不能用有限形式表示出其结果．所以它不能先积分，故
- 问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]由
作出其图形，
如图3所示．将积分域D分成D 1 ，D 2 及D 3 三部分．
图3
故
- 问答题
计算
答案：[解]因为
不能用有限形式表示出其结果，所以
不能先计算．为了改变积分次序，先要写出右边两积分的积分... - 问答题
计算下列二重积分：
D是由直线y=x及抛物线y=x
2
所围成的区域(如图2所示)．
图2答案：[解]因为
不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故
- 问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续，并设
求
答案：[解]因为
中
不能直接计算出来．
所以必须考虑更换积分次序，为此先画出积分域D的草图，如图所示．
于是
故
- 问答题
更换下列积分次序：
答案：[解]写出确定D的不等式组，并作出其图形，如图4所示．
图4
故
- 问答题
设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x 2 +y 2 =1为外侧，柱面x 2 +y 2 =2x为内侧，试求这个柱体的体积．
答案：[解]由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影，即积分域D如图所示，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便． - 问答题
更换下列积分次序：
(1)
(2)
答案：[解]极坐标系中的二重积分，若先对θ后对ρ进行积分，则应注意如下两点：
(1)积分域D的边界曲线均用极坐标表示... - 问答题
求球面x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a＞0)被平面
与
所夹部分的面积．
答案：[解]如图所示，球面x2+y2+z2=a2<... - 问答题
求由下列曲面所围成的形体的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．
答案：[解]显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．
<... - 问答题
计算
D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．
答案：[解]从被积函数
看，用极坐标系做要简单些，但从积分域D的形状看却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的情况下，... - 问答题
设
D是由x+y≤t，x=0及y=0围成的，求
答案：[解]做出f(x，y)及D的图形，如图所示．
... - 问答题
计算
其中
答案：[解]作出积分区域，如图所示．
- 问答题
计算下列二重积分：
[如图2所示]
图2答案：[解]
- 问答题
求
其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．
答案：[解]
- 问答题
设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有
则在D内f(x，y)≡0．
答案：[证]用反证法．设有一点P0(x0，y0)∈D，而f(... - 问答题
计算下列积分：
答案：[解]
- 问答题
设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：
答案：[证]如图所示．
故I=2I 1 ． - 问答题
设f(x)在[a，b]上连续，试证：
答案：[证]
- 问答题
设f(x，y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，证明：
其中，D为圆环域：ε 2 ≤x 2 +y 2 ≤1．答案：[证]采用极坐标，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
则
于是
<... - 问答题
设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：
答案：[证法一]辅助函数法：
令
(因为[f(u)g(x)]2 - 问答题
证明：
答案：[证]考虑二重积分
分别取D为
D1：x2+y... - 问答题
设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明
答案：[证]令
类似处理，又有
将式①和式②相加，并注意到假设即(x-... - 问答题
将
按y，z，x的次序积分重新改写．
答案：[解]
- 问答题
将
按x，z，y的次序积分改写．
答案：[解]由下图，则
- 问答题
计算
Ω为由平面x+y+z=1及三坐标面所围之区域(如图所示)．
答案：[解] 方法一： 因f(x，y，z)=x+y+z及积分域关于x，y，z均对称，
故
于是
方法二：
- 问答题
计算
Ω是球面x
2
+y
2
+z
2
=4与抛物面x
2
+y
2
=3z所围形体．
答案：[解]凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成的形体，一般用柱坐标计算为宜．在柱坐标系下，
球面与抛物面的交线为
即
故
- 问答题
计算
其中Ω是由曲线y
2
=2x，x=0绕Oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2，z=8所围之形体．
答案：[解]曲线
绕Oz轴旋转，所得旋转面方程为x2+y2=2z，如图所... - 问答题
计算三重积分
其中Ω是由锥面x
2
+y
2
=z
2
与平面z=a(a＞0)围成的区域，如图所示．
答案：[解]本题积分域为锥体，既可用柱面坐标系，也可用球面坐标系．该处用球面坐标系做，注意各面均应写成球坐标方程．
- 问答题
设积分区域D是圆环1≤x 2 +y 2 ≤4，求
答案：[解]因积分域1≤x2+y2≤4关于x轴，y轴对称，且函数2x3<... - 问答题
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时
答案：[解]记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则
由题知
所以
因此 - 问答题
设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：a的值；答案：[解]在极坐标下，
[解析] 由于D是角域的一部分，因此采用极坐标计算表示a的二重积分．
- 问答题
设
其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：常数b的值，其中b满足
答案：[解]对于上小题的
得
此外，
于是由题设得
...
D：x
2
+y
2
≤9．[如图1所示]
