填空题

设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y ₁ =(1一x+x ² )e ^x 与y ₂ =x ² e ^x ，则该微分方程为________．

答案：正确答案：y"一2y’+y=2e ^x

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微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0满足y(1)=2的特解是_______．

答案：正确答案：

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y ₁ (x)，y ₂ (x)与y ₃ (x)是二阶非齐次线性方程 y"+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且
则式①的通解为________．

答案：正确答案：y=C ₁ (y ₁ 一y ₂ )+C ₂ (y ₂ 一y ₃ )+y ₁ ，其中C ₁ ，C ₂ 为任意常数

微分方程
满足初值条件y(0)=0，y’(0)=
的特解是_______．

答案：正确答案：x=e ^y —e ^-y 一

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，f(x+y)=f(x)e ^y +f(y)e ^x 成立，已知f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．

答案：正确答案：axe ^x

微分方程的通解________(一定／不一定)包含了所有的解．

答案：正确答案：不一定

微分方程(y ² +1)dx=y(y一2x)dy的通解是______．

答案：正确答案：

，其中C为任意常数

设一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y ₁ ，y ₂ ，若αy ₁ +βy ₂ 也是该方程的解，则应有α+β=______．

答案：正确答案：1

微分方程
的通解为________．

答案：正确答案：

，其中C ₁ ，C ₂ 为任意常数

特征根为r ₁ =0，
的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_______．

答案：正确答案：

满足f’(x)+xf’(一x)=x的函数f(x)=_______．

答案：正确答案：

+x—arctan x+C，其中C为任意常数

已知∫ ₀ ¹ f(tx)dt=
+1，则f(x)=_______．

答案：正确答案：Cx+2，其中C为任意常数

设y"前的系数为1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y ₁ =(1一x+x ² )e ^x 与y ₂ =x ² e ^x ，则该微分方程为________．

答案：正确答案：y"一2y’+y=2e ^x

微分方程y"+4y=2x ² 在原点处与直线y=x相切的特解为________．

答案：正确答案：

微分方程
的通解是y=_______．

答案：正确答案：

，C ₁ ，C ₂ 为任意常数

一阶线性差分方程2y _t+1 +8y _t =5te ^t 的通解为y _t =_______．

答案：正确答案：

，C为任意常数

已知某商品的需求函数为Q=Q ₀ e ^-λP ，Q ₀ 为市场饱和需求量．当价格P=8元／件时，需求量为
，这种商品的进货价为5元／件，当P=_______元／件时，可使利润最大．

答案：正确答案：