填空题

函数f(x)=cosx展开成
的幂级数为______．

答案：

[解析]

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设a为正常数，则级数
的敛散性为______．

答案：发散[解析] 方法一当n≥1时，
原级数为一个正项级数．

因
发散，所以

设a为常数，若级数
收敛，则

答案： a[解析] 因级数

收敛，所以

从而

级数
的和为______．

答案：

[解析] 因级数

为等比级数，其公比q满足

故

收敛且和为

级数
的收敛域是______．

答案： (-1，1][解析] 因
为不缺项的x的幂级数，又因
故R=1．
在x=1处，
...

函数
展开成的(x-1)的幂级数为______．

答案：

[解析] 因

故

-1＜x-1＜1，即0＜x＜2．

常数项级数
的敛散性为______．

答案：发散 [解析] 将已给级数每相邻二项加括号得新级数

因

收敛，

发散，则级数

发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散．

幂级数
在收敛区间(-a，a)内的和函数S(x)为______．

答案：

[解析] 记

因

故

函数f(x)=ln(3+x)展开为x的幂级数为______．

答案：

[解析]

因

故

即-3＜x≤3．

幂级数
的收敛域为______．

答案： [1，3)[解析] 令y=x-2，则

为不缺项级数，
故R=1．当y=1时，
...

设
收敛，且
则
的敛散性为______．

答案：发散[解析] 由

收敛，知

故

从而

发散．

正项级数
收敛的充分必要条件为其部分和数列{S _n }______．

答案：有界(或有上界)[解析] 级数
收敛等价于{S_n}收敛．对于正项级数
{S

幂级数
的收敛域为______．

答案： [-1,1][解析]
为缺项级数，不能通过
求R，可用比值审敛法求收敛半径R具体为：
<...

e ^x 展开成(x-3)的幂级数为______．

答案：

[解析] e ^x =e ^3+(x-3) =e3·e ^x-3 ，因

从而

级数
当时绝对收敛；当时条件收敛；当__时发散．

答案： p＞1；0＜p≤1；p≤0[解析] 设
则

当p＞1时，
收敛，原级数

若
在x=3处为条件收敛，则其收敛半径R=______．

答案： 3[解析] 因
在x=-3收敛，故由阿贝尔定理，|x|＜3时，
绝对收敛．
又因

函数f(x)=cosx展开成
的幂级数为______．

答案：

[解析]

幂级数
在收敛域(-1，1)内的和函数S(x)为______．

答案：

[解析] 设

因

即

故