问答题

质量为μ的粒子限制在长度为L的一维匣子中自由运动，在x=0与x=L处其定态波函数满足条件ψ(0)=ψ(L)，ψ’(0)=ψ’(L)．将第一激发态写成归一化动量本征态的组合形式，并给出当动量平均值为零时组合系数满足的条件

答案： [解] 对于第一激发态，有

因为动量本征态为

你可能感兴趣的试题

在球坐标下，证明是厄米算符。

答案：

矢量算符
是厄米算符，且

，α为常量证明α取值为实数；

答案： [证明] (充分利用厄米算符的定义，本题可看作两乘积算符是否为厄米算符的延伸)
由于厄米算符

矢量算符
是厄米算符，且

，α为常量写出
的本征值

答案： [证明] l(l+1)α²，mα，其中m=-l，-l+1，…，l-1，l

一维情况下，宇称算符
的定义为
，试证明：
是厄米算符；

答案： [证明] 由于

由厄米算符定义：

可知

是厄米的

一维情况下，宇称算符
的定义为
，试证明：
的本征值为1和-1；

答案： [证明] 由
，故
(λ²-1)ψ(x)=0
即：λ...

一维情况下，宇称算符
的定义为
，试证明：
的分别属于1和-1的本征函数ψ₊，ψ_-正交；

答案： [证明] 设ψ₊，ψ_-为
的对应于1，-1的本征函数，则

一维情况下，宇称算符
的定义为
，试证明：
是幺正算符

答案： [证明] 一般地：
，记作
，则
，所以有

...

算符
表示同一体系的两个力学量，它们是可对易的．问在
有确定值的态ψ_f中，
是否一定也有确定值试就
的本征值没有简并和有简并两种情况分别论述之，并对后者以氢原子中的电子状态为例说明之．

答案：无简并情况
由已知条件，
，所以有

即

已知力学量
正交归一本征函数为
，相应的本征值为a，-a，-a．在A
象中，力学量
的矩阵表示为

其中a，b为实数，求：它们共同本征函数ψ₁，ψ₂，ψ₃，并给出相应
的本征值．

答案： [解] 从已知条件中可看出[A，B]=0，故存在共同的本征态力学量A的正交归一本征态可取为

的本征值分别为a_n，b_n，在任一态|ψ〉先测得
值a_n、再测得
值b_n的概率为P(a_n，b_n)，而先测得
得b_n再测
得a_n的概率为P(b_n，a_n)．问：两者相等的条件为何试证之．

答案： [解]
，其中c_n=〈a_n|ψ〉在态|ψ〉中测
得a<...

已知某微观体系的力学量A有两个归一化本征态ψ₁和ψ₂，相应的本征值为a₁和a₂．力学量B也有两个归一化本征态
，相应的本征值为b₁和b₂．两种本征态之间存在如下关系：

当对某个态测量A后得到α₁，然后再测量B，接着再测A，试求第二次测A仍得到a₁的概率

答案： [解] 由已知条件可将B的本征态用A的本征态来表示如下：

在某个...

证明：为了保证轨道角动量
是厄米算符，波函数ψ(r，θ，φ)满足单值性条件
ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)

答案： [证明] 厄米算符的定义要求对于任意两个波函数，有下式成立：

如果f=...

质量为μ的粒子限制在长度为L的一维匣子中自由运动，在x=0与x=L处其定态波函数满足条件ψ(0)=ψ(L)，ψ’(0)=ψ’(L)．求系统的能级；

答案： [解] 利用无限深势阱的结果，对于本题可得

上式满足ψ(0)=ψ(L)...

质量为μ的粒子限制在长度为L的一维匣子中自由运动，在x=0与x=L处其定态波函数满足条件ψ(0)=ψ(L)，ψ’(0)=ψ’(L)．将第一激发态写成归一化动量本征态的组合形式，并给出当动量平均值为零时组合系数满足的条件

答案： [解] 对于第一激发态，有

因为动量本征态为

设在t=0时刻一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：

描述．求粒子能量的可能值及相应的概率；

答案： [解] 方法一：一维无限深势阱的本征态波函数是

题目中给的波函数可用本...

设在t=0时刻一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：

描述． t时刻Ψ(x，t)及能量平均值．

答案： [解]

由于能量为守恒量，所以能量平均值不变，

，所以

质量为μ的粒子被限制在宽为a的无限深方势阱中运动(0＜x＜a)．
(1)在初始时刻t=0，测量到粒子处于基态的概率是1/2，处于第一激发态的概率也为1/2写出t时刻系统波函数的一般形式．
(2)在(1)中条件下，开始时刻粒子的平均位置
且偏离势阱中心最远，求此时的波函数．

答案： [解] 一维无限深方势阱的能量本征态和本征值分别为

(1)定态问题的一...

假定一电子状态由波函数

描述，其中
，且
，θ分别是方位角和极角．处在该态电子的轨道角动量z分量
的可能测量结果是多少

答案： [解] 观察题意中φ指标可知：磁量子数m=0，1，故l_z可能测值为0，

有一在
势场作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为

其中
为哈密顿量的归一化本征函数，相应的本征值为
求这一时刻的能量平均值；

答案： [解]

假定一电子状态由波函数

描述，其中
，且
，θ分别是方位角和极角．在第一小问中每个可能结果的概率是多少

答案： [解] 由归一化条件可以验证题中波函数已经归一化，对于径向部分与l_z无关，故只需分析角向部分，令<...

假定一电子状态由波函数

描述，其中
，且
，θ分别是方位角和极角．
的期望(平均)值是多少

答案： [解]

有一在
势场作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为

其中
为哈密顿量的归一化本征函数，相应的本征值为
过了1s后，能量平均值和坐标的平均值是否发生变化，为什么

答案： [解] 因为

，所以能量平均值不变，而坐标不是守恒量，其平均值发生变化

一维谐振子t=0时处于基态ψ₀和第一激发态ψ₁的叠加态其中
(1)求t时刻，位置和动量的平均值〈x〉_t，〈p〉_t；
(2)证明:对于一维谐振子的任何状态，t时刻位置和动量的平均值有关系为：
(3)求t时刻能量的平均值〈H〉_t．

答案：

暂无答案

一维谐振子势场
中的粒子处于任意的非定态，试证明该粒子的位置概率分布经历一个周期
之后复原．

答案： [解] 一维谐振子归一化本征态为：

任意非定态可表示为：

位...

已知中微子的两种本征态为|v₁〉和|v₂〉，能量本征值分别为
(其中i=1，2)，电子中微子的本征态为|v_e〉=cosθ|v₁〉+sinθ|v₂〉，μ子中微子的本征态为|v_μ〉=-sinθ|v₁〉+cosθ|v₂〉，其中θ是混合角．某体系中在t=0时，中微子处于态|v_e〉，求： t时刻中微子所处的状态；

答案： [解] t时刻状态为

在t=0时，处于势
中的粒子由波函数

描述，
是能量为
的能量本征态，满足
求：归一化常数A；

答案： [解] 由于

取A为正实数，有

已知中微子的两种本征态为|v₁〉和|v₂〉，能量本征值分别为
(其中i=1，2)，电子中微子的本征态为|v_e〉=cosθ|v₁〉+sinθ|v₂〉，μ子中微子的本征态为|v_μ〉=-sinθ|v₁〉+cosθ|v₂〉，其中θ是混合角．某体系中在t=0时，中微子处于态|v_e〉，求： t时刻测量得到|v_μ〉态的概率是多少

答案： [解] t时刻测量得到|v_μ〉态的概率为

其中

在t=0时，处于势
中的粒子由波函数

描述，
是能量为
的能量本征态，满足
求：给出t＞0时ψ(x，t)的表示式；

答案： [解]

在t=0时，处于势
中的粒子由波函数

描述，
是能量为
的能量本征态，满足
求：证明|ψ(x，t)|²是时间的周期函数，指出最大周期；

答案： [解] 因为

，显然

是时间的周期函数，最大周期为2π/ω

电子在均匀磁场(0，0，H)中运动，哈密顿量为
，求
，
随时间的变化关系假设初始条件是：当t=0时，

答案： [解] 方法一：由定义，可有

同理可得：

...

在t=0时，处于势
中的粒子由波函数

描述，
是能量为
的能量本征态，满足
求： t=0时的能量期待值(平均值)

答案： [解] 能量期望值为

注意到
，于是
，从而

一质量为μ约束在平面上、沿一定半径R绕z轴转动的平面转子初始时刻的粒子波函数为ψ(φ，0)=A cos²φ，求粒子在任意t≥0时刻：(1)波函数；(2)角动量的可能值、相应的概率以及平均值，并回答这些值是否受时间影响；(3)处于第二能量激发态的概率

答案： [解] 平面转子：

为守恒量，
的共同本征态为
的本征值分...

{{HTML}} 粒子被约束在半径为r的圆周上运动
(1)设立“路障”进一步限制粒子在
的一段圆弧上运动：

求解粒子的能量本征值和本征函数．
(2)设粒子处在情形(1)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最低能量态的概率是多少?

{{HTML}} 质量为μ的粒子，原处于一维刚性盒子(0→L)的基态中，设盒子x=L的壁突然运动到x=2L
(1)计算盒子膨胀后粒子处于基态的概率；
(2)试盒子膨胀后粒子最可能处于什么态?
(3)若此盒子两壁突然膨胀至±∞处，求体系动量大小在p→p+dp之间的概率；
(4)在(3)情况下，体系的能量是否守恒?为什么?