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问答题

设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝
，求f(x)．

答案： 正确答案：因f(x)＝
f2(x)＝
dt， (*) 由f(x)连续及x
题目列表

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问答题

求定积分：(I)J＝
min｛2，x 2 ｝dx； (II)J＝
(1一｜t｜)dt，x≥一1．
答案： 正确答案：(Ⅰ)min｛2，x 2 ｝＝
于是
问答题

求
(x＋1)ln 2 (x＋1)dx．
答案： 正确答案：
问答题

设n为正整数，利用已知公式
，其中
，求下列积分：(I)J n ＝
sinx n dx；(II)J n ＝
(x 2 －1) n dx．
答案： 正确答案：
问答题

求无穷积分
．
答案： 正确答案：J＝
[ln(1＋x)—lnx—
]dx，而 ∫[ln(1＋x)—lnx＝
]d...
问答题

设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求
f(x)dx．
答案： 正确答案：
问答题

设f(x)＝求f(x)的不定积分
．
答案： 正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝
cos2x＋C1当x＞0时，f(x)...
问答题

设f’(x)＝arcsin(x一1) 2 ，f(0)＝0，求
．
答案： 正确答案：∫01f(x)dx＝∫01
问答题

设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限
[f(t＋a)－f(t－a)]．
答案： 正确答案：【解法一】记I(a)＝
[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得 I(a)＝
问答题

求
[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．
答案： 正确答案：
＝φ’(x)
f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’...
问答题

设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令
(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．
答案： 正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要
F(x) ＝A．而
问答题

设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝
，求f(x)．
答案： 正确答案：因f(x)＝
f2(x)＝
dt， (*) 由f(x)连续及x
问答题

求函数f(x)＝
在区间[e，e 2 ]上的最大值．
答案： 正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再...
问答题

求星形线
(a＞0)所围区域的面积A．
答案： 正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤
，
问答题

求下列旋转体的体积V： (I)由曲线y＝x 2 ，x＝y 2 所围图形绕x轴旋转所成旋转体： (II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．
答案： 正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为

(Ⅱ)如图3．3，所求体积为...
问答题

设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线
绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．
答案： 正确答案：
直线方程：

上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2
问答题

求双纽线，r 2 ＝a 2 cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．
答案： 正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，
]．面积
由r 2 ＝a 2 cos2θ


问答题

求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功
答案： 正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．
取下半球中的微元薄片，即
问答题

求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F＝
(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，
垂直圆面，
＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式
．
答案： 正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P． 任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的...
问答题

过曲线y＝x 2 (x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为
，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．
答案： 正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点...
问答题

设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝
(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：
；(Ⅱ)求定积分
．
答案： 正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，...
问答题

设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)
f(x－t)dt＝sin 4 x，求f(x)在[0，
]上的平均值．
答案： 正确答案：令x—t＝u，则
，于是
两边积分
， 故f(x)在[0，
]上的平均值为
．
问答题

已知抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆
相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．
答案： 正确答案：圆
的半径为
，所以在圆上任何一点的曲率为
．由于点 P(1，2)是下半圆上的一...
问答题

设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：
答案： 正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得
(II)按题设，对左端作变换
问答题

设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且
f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．
答案： 正确答案：由定积分的性质
问答题

证明
，其中n为自然数．
答案： 正确答案：
利用被积函数的结合性，原式改写成In＝
cosn—1
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